eine wichtige Methode zur analytischen Fortsetzung.

Es sei a = z₀ ∈ ℂ und D₀ ⊂ C eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z₀ und Radius r₀ > 0. In D₀ sei eine holomorphe Funktion in Form einer Potenzreihe \begin{eqnarray}{f}_{0}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n},\ \ z\in {D}_{0}\end{eqnarray} gegeben. Weiter sei γ : [0, 1] → ℂ ein Jordan-Bogen mit Anfangspunkt a = γ (0) und Endpunkt b = γ (1) /∈ D₀. Um festzustellen, ob f₀ längs γ analytisch fortsetzbar ist, geht man wie folgt vor. Man wählt t₁ ∈ (0, 1) derart, daß z₁ = γ(t₁) ∈ D₀. Dann ist f₀ in eine Potenzreihe um z₁ entwickelbar. Diese erhält man durch Umentwicklung der Potenzreihe (1) \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{f}_{0}(z) & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}[({z}_{1}-{z}_{0})+(z-{z}_{1}){]}^{n}\\ & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{(}_{k}^{n}){({z}_{1}-{z}_{0})}^{n-k}{(z-{z}_{1})}^{k}\\ & = & \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{(}_{k}^{n}){a}_{n}{({z}_{1}-{z}_{0})}^{n-k}){(z-{z}_{1})}^{k}.\end{array}\end{eqnarray}

Also gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{f}_{0}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}^{(1)}{(z-{z}_{1})}^{n}\end{array}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}{a}_{n}^{(1)}=\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }{(}_{n}^{k}){a}_{k}{({z}_{1}-{z}_{0})}^{k-n}.\end{eqnarray}

Die Entwicklung (2) gilt in der offenen Kreisscheibe um z₁ mit Radius r₀ −|z₁ −z₀|. Es kann der Fall eintreten, daß die Reihe (2) in einer größeren Kreisscheibe D₁ um z₁ mit Radius r₁> r₀ − |z₁ − z₀| konvergiert. Dann erhält man eine in D₁ holomorphe Funktion f₁ mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{f}_{1}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}^{(1)}{(z-{z}_{1})}^{n}, & z\in {D}_{1}.\end{array}\end{eqnarray}

Es gilt f₁(z) = f₀(z)für z ∉ D₁ ∩ D₀, d. h. (f₁, D₁) ist eine analytische Fortsetzung von (f₀, D₀).

Ist b /∈D₁, so wählt man t₂ ∈ (t₁, 1) derart, daß z₂ = γ (t₂) ∈ D₁ ist, und wendet das obige Verfahren auf die Potenzreihe (3) an. Man stellt wieder fest, ob die Umentwicklung der Reihe (3) in einer Kreisscheibe D₂ um z₂ mit Radius r₂ >r₁ −|z₂ −z₁| konvergiert. So fährt man fort. Gelangt man nach endlich vielen Schritten (m Stück) zu einer Kreisscheibe D_m um z_m = γ (t_m) mit Radius r_m und einer in D_m holomorphen Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{f}_{m}(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}^{(m)}{(z-{z}_{m})}^{n}, & z\in {D}_{m}.\end{array}\end{eqnarray}

derart, daß b ∈ D_m und (f_j, D_j) eine analytische Fortsetzung von (f_j−1, D_j−1), j = 1, …, m ist, so ist (f₀, D₀) längs γ analytisch fortsetzbar. Den Wert der analytischen Fortsetzung kann man durch Einsetzen von z = b in die Reihe (4) berechnen. Dieser ist unabhängig von der speziellen Wahl der Punkte z₁, …, z_m.

Ist umgekehrt (f₀, D₀) längs γ analytisch fortsetzbar, so ist es stets möglich, die Punkte z₁, …, z_m so zu wählen, daß das Verfahren zum Ziel führt.

Die Menge der Kreisscheiben D₀, D₁, …, D_m nennt man eine Kreiskette.