Verfahren zur iterativen Lösung linearen GleichungssystemeAx = b mit A ∈ ℝ^n×n und b ∈ ℝⁿ.

Dabei wird, ausgehend von einem (beliebigen) Startvektor x⁽⁰⁾, eine Folge von Näherungsvektoren x^(k) an die gesuchte Lösung x gebildet. x^(k) wird dazu so aus einem verschobenen Krylow-Raum {x⁽⁰⁾}+ 𝒦_k(B, r⁽⁰⁾) gewählt, daß eine Bedingung der Art \begin{eqnarray}b-A{x}^{(k)}\perp \mathcal{L}_{k}\end{eqnarray}

für einen beliebigen k-dimensionalen Raum ℒ_k erfüllt ist. Dabei sei \begin{eqnarray}{{\mathcal{K}}}_{k}(B,{r}^{(0)})=Span\{{r}^{(0)},B{r}^{(0)},{B}^{2}{r}^{(0)},\ldots,{B}^{k-1}{r}^{(0)}\}\end{eqnarray}

und r⁽⁰⁾ = b − Ax⁽⁰⁾.

Die verschiedenen Versionen von Krylow-Raum-Verfahren unterscheiden sich in der Wahl der Matrix B und des k-dimensionalen Raums ℒ_k.

Für symmetrische positiv definite Matrizen A ist das Konjugierte Gradientenverfahren das beste Krylow-Raum-Verfahren. Für nichtsymmetrische oder symmtrische, aber nicht positiv definite Matrizen A existieren zahlreiche Krylow-Raum-Verfahren, z. B. das BiCG-Verfahren, das GMRES-Verfahren und das QMR-Verfahren.

Vorteil der Krylow-Raum-Verfahren ist, daß in der Berechnung die Matrix A unverändert bleibt; es werden nur Matrix-Vektor-Multiplikationen benötigt. Daher sind diese Verfahren besonders für Gleichungssysteme mit großen sparsen Koeffizientenmatrizen A geeignet.