Lexikon der Mathematik: längentreue lineare Abbildung
orthogonale lineare Abbildung, eine lineare Abbildung, die Skalarprodukte (und damit insbesondere Längen) nicht ändert.
Gegeben seien Vektorräume V und W mit Skalarprodukten 〈.,.〉V, 〈.,.〉W, über dem Körper ℝ oder ℂ. Eine lineare Abbildung φ : V → W heißt längentreu, falls
für alle ν1, ν2 ∈ V. Äquivalent hierzu ist die Forderung
für alle ν ∈ V. Ist speziell V = W und 〈.,.〉V = 〈.,.〉W, so nennt man eine längentreue lineare Abbildung auch orthogonale Selbstabbildung (für Vektorräume über ℝ), bzw unitäre Selbstabbildung (für Vektorräume über ℂ).
Für endlichdimensionale Vektorräume V können sie bezüglich einer orthonormalen Basis durch die orthonormalen Matrizen (im reellen Fall) bzw. die unitären Matrizen (im komplexen Fall) gegeben werden.
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