Lexikon der Mathematik: Lagrange-Newton, Verfahren von
behandelt ein Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen, indem es dasselbe in ein Nullstellenproblem transformiert.
Gesucht sei beispielsweise min f auf der Menge
mit endlicher Indexmenge I und reellwertigen Funktionen f, hi ∈ C1(ℝn). Ferner gelte die lineare Unabhängigkeitsbedingung auf ganz M.
Ist jetzt \(\bar{x}\in M\) ein kritischer Punkt von f|M mit zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren \(\bar{\lambda }\), so ist \((\bar{x},\bar{\lambda })\) eine Nullstelle der Abbildung
Das Verfahren von Lagrange-Newton wird nun angewandt, um solche Nullstellen (und damit mögliche Extremalpunkte des Ausgangsproblems) zu finden.
Dazu werden Iterationsfolgen (xk), (λk) sowie Matrizen (Ak) und (Bk) berechnet, wobei
und
ist. Man löst in jedem Schritt das System
und ermittelt die neuen Iterierten gemäß
(Lagrange-Newton Iteration).
Das Vorgehen läßt sich analog auf Probleme mit Ungleichungsnebenbedingungen erweitern.
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