Lexikon der Mathematik: Lagrangesche Identität
Aussage über den Differentialoperator, wie er im Sturm-Liouvilleschen Randwertproblem auftritt.
Seien n ∈ ℕ und rk, sk ∈ ℕ0, sowie I ⊂ ℝ ein Intervall und ak : I → ℝ sowohl rk-mal als auch sk-mal differenzierbar für alle k ∈ {0, …, n}.
Für den Differentialoperator L, definiert durch
und den entsprechenden adjungierten Operator
sowie für maxk∈{0,…,n}{(rk + sk)}-mal differenzier-bare Funktionen u, v gilt dann die Lagrangesche Identität:
Dabei ist \(\tilde{L}\) der bilineare Differentialoperator
Gebräuchlicher und handlicher ist die Lagrangesche Identität speziell für Sturm-Liouvillesche Randwertprobleme 2. Ordnung. Hier hat der Differentialoperator L die Form
Dabei soll p stetig differenzierbar und q stetig auf dem Intervall I ⊂ ℝ sein. Zusätzlich muß p(x) > 0 für alle x ∈ I gelten. L ist dann ein selbstadjungierter Operator, d. h. L = L∗, und die Lagrangesche Identität besagt dann für u, v ∈ C2(I):
Durch Übergang zu einem bestimmten Integral erhält man zudem aus der Lagrangeschen Identität (1) die sog. Greensche Formel:
[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B. G. Teubner Stuttgart, 1989.
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