die Lösungen der Differentialgleichung \begin{eqnarray}z\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}}+(\alpha -z+1)\frac{dw}{dz}+nz=0,\end{eqnarray}

wobei α und n beliebige komplexe Parameter sind.

Man bezeichnet sie üblicherweise mit \({L}_{n}^{\alpha }\). Laguerre-Funktionen lassen sich leicht durch Whittaker-Funktionen oder durch die konfluente hypergeometrische Funktion darstellen. Man erhält: \begin{eqnarray}{L}_{n}^{\alpha }(z)=\frac{1}{\Gamma (n+1)}M(-n,\alpha +1,z),\end{eqnarray}

wobei M die konfluente hypergeometrische Funktion (Kummer-Funktion) bezeichet.

Für n ∈ ℕ₀ gehen diese Funktionen in die Laguerre-Polynome über.

Mitunter nennt man für n ∈ ℕ₀ die Funktionen \begin{eqnarray}{e}_{n}^{\alpha }(z):={z}^{\alpha /2}{e}^{-z/2}{L}_{n}^{\alpha }(z)\end{eqnarray}

ebenfalls Laguerre-Funktion.

[1] Erdélyi, A.: Higher transcendential funktions, vol. 1. McGraw-Hill, 1953.