Lexikon der Mathematik: Laplace-Transformation
eine Integral-Transformationf ↦ Lf =: F für eine komplexwertige Funktion f ∈ L1(0,+∞), gegeben durch
Man betrachte eine Funktion f mit folgenden Eigenschaften:
- f ∈ L1(0,+∞).
- f(t) = 0 (t< 0).
- Es existieren Konstanten K, a ∈ ℝ mit |f(t)| ≤ Keat (t ≥ 0).
Unter diesen Voraussetzungen ist F divergent für Re z< a und konvergent für Re z >a, wo sie sogar analytisch ist. Für Re z → ∞ gilt limz→∞F(z) = 0.
Schränkt man den Definitionsbereich der Laplace-Transformation auf Funktionen mit den Eigenschaften (1)–(3) ein, so ist dieser ein linearer Raum, und die Laplace-Transformation eine lineare Abbildung.
Ist b >a beliebig, dann ist die inverse Laplace-Transformation gegeben durch die Formel
Von Bedeutung sind folgende Rechenregeln: Differentiation:
und
Die letzte Gleichung wird als Multiplikationssatz bezeichnet.
Integration:
und
Ähnlichkeitssatz: Für k ∈ ℝ, k > 0 gilt
Verschiebungssätze: Für τ ∈ ℝ, τ > 0 gelten
Dämpfungssatz: Für α ∈ ℂ gilt
Laplace-Transformation der Exponentialfunktion: Für α ∈ ℂ, n ∈ ℕ0 gilt
Die Laplace-Transformation ist besonders geeignet zum Lösen von Differentialgleichungen. Als Beispiel betrachten wir gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Anfangswerten. Hierbei wird erst die Differentialgleichung mit Hilfe der Linearitäts- und der Differentiationsregel Laplace-transformiert, wodurch eine algebraische Gleichung entsteht. Die Lösung dieser transformierten Gleichung wird in Partialbrüche zerlegt und anschließend mit Hilfe der Formel (1) und der Faltung für die Laplace-Transformation zurücktransformiert. Die Laplace-Transformation kann auch zur Behandlung partieller Differentialgleichungen mit Rand- und Anfangsbedingungen angewendet werden.
Bisweilen findet eine Diskretisierung der Laplace-Transformation, die sog. diskrete Laplace-Transformation, Anwendung.
[1] Doetsch, G: Handbuch der Laplace-Transformation I–III. Birkhäuser Basel, 1950-1956.
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