unendliche Reihe der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}.\end{eqnarray}

Der Punkt z₀ ∈ ℂ heißt Entwicklungspunkt, und die Zahlen a_n ∈ ℂ heißen Koeffizienten der Laurent-Reihe. Die Reihen

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{-\infty }^{-1}{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{-n}{(z-{z}_{0})}^{-n}\end{eqnarray}

bzw.

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

heißen Hauptteil bzw. Nebenteil der Laurent-Reihe. Laurent-Reihen sind verallgemeinerte Potenzreihen, wobei der Nebenteil eine (echte) Potenzreihe und der Hauptteil eine Potenzreihe in w = 1/(z − z₀) ist. Sie dienen vor allem der Laurent-Entwicklung von Funktionen.

Eine Laurent-Reihe heißt konvergent, falls Hauptteil und Nebenteil konvergent sind. Es sei s der Konvergenzradius des Nebenteils und r̂ der Konvergenzradius der Potenzreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{-n}{W}^{n}\). Weiter sei r := 1/r̂, wobei r = 0 für r̂ = ∞ und r = ∞ für r̂ = 0. Ist r < s, so ist die Laurent-Reihe im offenen Kreisring A_r,s(z₀) = {z ∈ ℂ : r< |z| < s} normal konvergent und stellt dort eine holomorphe Funktion dar. Im Fall r ≥ s ist die Reihe in keiner nicht-leeren, offenen Menge von ℂ konvergent.

Für Laurent-Reihen gilt folgender Identitätssatz.

Es seien \(\displaystyle {\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\)und \(\displaystyle {\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{b}^{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\)Laurent-Reihen, die beide auf einer Kreislinie S_ϱ(z₀) mit Mittelpunktz₀und Radius ϱ > 0 gleichmäßig gegen dieselbe (stetige) Grenzfunktion f konvergieren.

Dann gilt für alle n ∈ ℤ \begin{eqnarray}{a}_{n}={b}_{n}=\frac{1}{2\pi {\varrho }^{n}}\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f({z}_{0}+\varrho {e}^{it}){e}^{-\text{int}}dt.\end{eqnarray}