Lexikon der Mathematik: Lebensdauerverteilung
die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zufälligen Lebensdauer eines Systems bzw. Systemelements.
Ist T die zufällige Lebensdauer und F(t) die Verteilungsfunktion und f(t) die Verteilungsdichte von T, so heißen
Überlebenswahrscheinlichkeit der Einheit,
Ausfall- bzw. Hazardrate des Systems, und
bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit des Systems.
In der Zuverlässigkeitstheorie werden die Lebensdauerverteilungen entsprechend der Eigenschaften ihrer Ausfallraten und Überlebenswahrscheinlichkeiten in folgende Klassen eingeteilt:
Die Klasse der IFR-Verteilungen ist offenbar eine Teilmenge der NBU-Verteilungen; die Klasse der DFR-Verteilungen ist eine Teilmenge der NWU-Verteilungen. In [3] findet man spezielle Hypothesentestverfahren zum Prüfen der vorliegenden Verteilungsklasse, speziell für folgende Hypothesen:
Zur Beschreibung der Verteilungen von zufälligen Lebensdauern werden oft die Exponential-, die Gamma-, die Weibull- und die Lognormalverteilung herangezogen.
Ein Beispiel. Für die Exponentialverteilung
gilt:
Die Exponentialverteilung gehört damit sowohl zur Klasse der DFR und der IFR als auch zur Klasse der NBU und NWU-Verteilungen.
Für die Weibullverteilung mit der Verteilungsfunktion
und der Dichtefunktion
ist die Ausfallrate gleich
Damit ergibt sich für
[1] Barlow, R.E.; Proschan, F.: Statistische Theorie der Zuverlässigkeit. Harri Deutsch Verlag Frankfurt/M, 1978.
[2] Gnedenko, B.W.; Beljajew, J.K.; Solowjew, A.D.: Mathematische Methoden der Zuverlässigkeit. Akademie Verlag Berlin, 1980.
[3] Hartung, J.; Elpelt, B.; Klösener, K.-H.: Statistik. R.Oldenbourg Verlag München Wien, 1989.
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