Integralbegriff auf Maßräumen.

Es seien M eine Menge, 𝔄 eine σ-Algebra auf M und µ ein Maß auf 𝔄. Weiterhin sei D ⊆ M eine µ-meßbare Menge und f : D → ℝ ∪ {−∞, ∞} eine µ-meßbare Funktion. Auf dem System D ∩ 𝔄 der meßbaren Teilmengen von D existiere eine abzählbar additive Mengenfunktion ϕ mit der Eigenschaft, daß für jede Menge A aus D ∩ 𝔄 die Mittelwerteigenschaft

\begin{eqnarray}\mu (A)\cdot \mathop{\inf }\limits_{A}f\le \varphi (A)\le \mu (A)\mathop{\sup }\limits_{A}f\end{eqnarray}

erfüllt ist, wobei 0·±∞ = 0 gesetzt wird. Dann ist φ eindeutig. Man nennt in diesem Fall f integrierbar über D bezüglich µ und bezeichnet ϕ(D) als das bestimmte Lebesgue-Stieltjes-Integral von f über D bezüglich µ. Man schreibt auch

\begin{eqnarray}\varphi (D)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{D}fd\mu. \end{eqnarray}

Eine über D Lebesgue-Stieltjes-integrierbare Funktion f ist auch über jede meßbare Teilmenge A von D integrierbar mit ∫_Afdµ = ϕ(A). Die Mengenfunktion ϕ(A), A ∈ D ∩ 𝔄 heißt dann das unbestimmte Lebesgue-Stieltjes-Integral von f bezüglich µ. Siehe auch µ-Integral.