(Ergebnis der) Transformation einer reellwertigen C^∞-Funktion f des ℝⁿ, deren Ableitung q ↦ df(q) einen Diffeomorphismus des ℝⁿ auf eine offene Teilmenge U von ℝⁿ darstellt:

Wenn φ : U → ℝⁿ das Inverse von df bezeichnet, so werde die Legendre-Transformierte F : U → ℝ durch

\begin{eqnarray}F(p):=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{p}_{i}{\phi }_{i}(p)-f(\phi (p))\end{eqnarray}

definiert.

Es gilt \(dF=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\phi }_{i}d{p}_{i}\). Legendre-Transformierte werden vor allem in der klassischen Mechanik und in der Thermodynamik verwendet. Kontaktgeometrisch gesprochen wird die Legendresche Untermannigfaltigkeit aller derjenigen Kontaktelemente im ℝⁿ⁺¹, die den Graphen von f berühren, durch die Legendre-Involution wieder auf eine Legendresche Untermannigfaltigkeit des ℝ²ⁿ⁺¹ abgebildet, die unter den obigen Bedingungen wieder als Graph einer Funktion F auffaßbar ist.