Lexikon der Mathematik: Leray-Schauderscher Abbildungsgrad
Hilfsmittel der nichtlinearen Funktionalanalysis zum Studium der Lösbarkeit der Gleichung
Es sei U eine beschränkte offene Teilmenge eines BanachraumsX, es sei y ∈ X, und 𝒱(U, y) sei die Menge aller stetigen Abbildungen f : \({\bar{U}}\) → X der Form f(x) = x − g(x), wo g(U) relativkompakt und \(y\notin f(\partial U)\) ist.
Dann existiert genau eine Zuordnung f ∈ 𝒱(U, y) ↦ d(f, U, y) ∈ ℤ mit folgenden Eigenschaften:
Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad d(f,U,y) ist eine unendlichdimensionale Verallgemeinerung des (Brouwerschen) Abbildungsgrads im ℝn.
Um zu zeigen, daß die Gleichung (1) in U lösbar ist, versucht man zu zeigen, daß f zu einer einfacheren Abbildung f̃ gemäß (iv) homotop ist, für die d(f̃, U, y) ≠0 einfach einzusehen ist; (iv) und (i) zeigen dann die Lösbarkeit von (1).
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