eine auf Vektorfeldern definierte Lie-Algebra.

Ist L eine Lie-Gruppe, so kann man jedes kontravariante Vektorfeld X auf L durch Links- bzw. Rechtsmultiplikation mit einem festen a ∈ L in ein kontravariantes Vektorfeld aX bzw. Xa transformieren. X heißt dann links- bzw. rechtsinvariant, wenn aX = X bzw. Xa = X gilt. Sind X und Y Vektorfelder auf der Lie-Gruppe L mit der Eigenschaft, daß in jedem lokalen Koordinatensystem ihre Komponenten x_i, y_i stetig differenzierbare Abbildungen in den lokalen Koordinaten ξ₁, …, ξ_n sind, so kann man das kontravariante Vektorfeld Z = [X, Y] definieren, dessen Komponenten durch

\begin{eqnarray}{z}_{i}={y}_{i}\frac{\partial {x}_{i}}{\partial \xi i}-{x}_{i}\frac{\partial {y}_{i}}{\partial \xi i}\end{eqnarray}

berechnet werden. Sind X und Y beide linksinvariant bzw. rechtsinvariant, so ist auch Z wieder linksinvariant bzw. rechtsinvariant. Mit der Kommutatorbildung [, ] bilden dann sowohl die linksinvarianten Vektorfelder auf L als auch die rechtsinvarianten Vektorfelder auf L eine Lie-Algebra.