die Größe

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\inf }\limits_{n\to \infty }\,{a}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\inf \{{a}_{k}|k\le n\},\end{eqnarray}

wobei (a_n) die benannte reelle Folge bezeichnet.

Man beachte, daß die Folge (inf{a_k | k ≥ n}) isoton ist, also entweder konstant gleich −∞ oder konvergent oder bestimmt divergent gegen ∞.

lim inf_n→∞a_n, oder kurz lim inf a_n, ist gerade das Infimum der Menge der Häufungswerte der Folge (a_n). Insbesondere gibt es eine Teilfolge von (a_n), die gegen lim inf a_n konvergiert bzw. bestimmt divergiert.

Der Limes inferior einer beschränkten Folge ist reell und selbst Häufungswert der Folge, also das Minimum der Menge der Häufungswerte.

Nach unten unbeschränkte Folgen haben −∞ als Limes inferior. Folgen, die nur ∞ als Häufungswert haben (z. B. (a_n) = (n)), haben ∞ als Limes inferior.

Die Zahl a ∈ ℝ ist genau dann der Limes inferior von (a_n), wenn für jedes ϵ > 0 für unendlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung a_n< a + ϵ gilt und für höchstens endlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung a_n< a − ϵ. Es gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf {a}_{n}\le \mathrm{lim}\sup {a}_{n}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf \,(-{a}_{n})=-\mathrm{lim}\sup {a}_{n},\end{eqnarray}

wobei lim sup a_n den Limes superior von (a_n) (Limes superior einer reellen Folge) bezeichnet, und mit der Vereinbarung α(±∞) = ±∞ gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf \alpha\,{a}_{n}=\alpha\, \mathrm{lim}\inf {a}_{n}\end{eqnarray}

für α ∈ (0, ∞).

Man beachte auch die Ungleichungen für Limes Inferior und Superior reeller Folgen.