die Größe

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{n\to \infty }{a}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\sup \{{a}_{k}|k\ge n\},\end{eqnarray}

wobei (a_n) die benannte reelle Folge bezeichnet.

Man beachte, daß die Folge (sup{a_k | k ≥ n}) antiton ist, also entweder konstant gleich ∞ oder konvergent oder bestimmt divergent gegen −∞.

lim sup_n→∞a_n, oder kurz lim sup a_n, ist gerade das Supremum der Menge der Häufungswerte der Folge (a_n). Insbesondere gibt es eine Teilfolge von (a_n), die gegen lim sup a_n konvergiert bzw. bestimmt divergiert.

Der Limes superior einer beschränkten Folge ist reell und selbst Häufungswert der Folge, also das Maximum der Menge der Häufungswerte. Nach oben unbeschränkte Folgen haben ∞ als Limes superior. Folgen, die nur −∞ als Häufungswert haben (z. B. (a_n) = (−n)), haben −∞ als Limes superior. Die Zahl a ∈ ℝ ist genau dann der Limes superior von (a_n), wenn für jedes ϵ > 0 für unendlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung a_n > a − ϵ gilt und für höchstens endlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung a_n > a + ϵ. Es gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf {a}_{n}\le \mathrm{lim}\sup {a}_{n}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\sup \,(-{a}_{n})=-\,\mathrm{lim}\inf {a}_{n},\end{eqnarray}

wobei lim inf a_n den Limes inferior von (a_n) (Limes inferior einer reellen Folge) bezeichnet, und mit der Vereinbarung α · (±∞) = α gilt lim sup α a_n = α lim sup a_n für α ∈ (0, ∞).

Man beachte auch die Ungleichungen für Limes Inferior und Superior reeller Folgen.