eine Differenzengleichungn-ter Ordnung der Funktion y(x), die in y(x) und y(x + ν) für ν ∈ {1, 2, …, n} linear ist.

Jede lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung läßt sich in die Form

\begin{eqnarray}(Py)(x)=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{p}_{i}(x)y(x+i)=q(x)\end{eqnarray}

bringen. Für q(x) = 0 heißt die Differenzengleichung homogen, andernfalls inhomogen.

Als singuläre Punkte einer linearen Differenzengleichung (1) bezeichnet man die singulären Punkte der Funktionen p_i, die Nullstellen von p₀(x) und von p_n(x − n), und gegebenenfalls den Unendlichkeitspunkt. Vorausgesetzt wird dabei, daß die p_i(x) im Endlichen keine allen gemeinsame Nullstelle und nur wesentliche Singularitäten aufweisen. Dies läßt sich durch Multiplikation von (1) mit einer passenden Funktion stets erreichen.

Man nennt die Funktion φ_m linear abhängig von φ₁, …, φ_m−1 bzgl. einer homogenen Differenzengleichung, wenn eine Darstellung der Form

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\phi }_{m}(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{m-1}{a}_{i}(x){\phi }_{i}(x), & {a}_{i}(x)={a}_{i}(x+1)\end{array}\end{eqnarray}

existiert, mit a_i(x) ≠ 0 bei mindestens einem Punkt, der zu keinem singulärem Punkt kongruent ist.

n linear unabhängige Lösungen f_i der homogenen linearen Differenzengleichung n-ter Ordnung (Pf)(x) = 0 bilden ein Fundamentalsystem (Casorati-Determinante).

Ist F eine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (1), so lautet mit beliebigen Funktionen ϱ der Periode 1 die allgemeine Lösung von (1)

\begin{eqnarray}f(x)=F(x)+\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\varrho }_{i}(x){f}_{i}(x),\end{eqnarray}

wobei die Summe gerade die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzengleichung ist.