Konvergenz von der Ordnung 1.

Es sei M ⊆ ℝⁿ und T : M → ℝⁿ eine Abbildung. Ist x^∗ ein Fixpunkt von T, so verwendet man zur näherungsweisen Bestimmung des Fixpunktes oft das iterative Verfahren x_n+1 = T(x_n) mit einer fest gewählten Startnäherung x₀. Gibt es dann eine Konstante c und ein p ∈ ℕ so, daß

\begin{eqnarray}\Vert {x}_{n+1}-x^{*} \Vert \le C\cdot {\Vert {x}_{n}-x^{*} \Vert }^{p}\end{eqnarray}

mit 0 ≤ C< 1 für p = 1 und 0 ≤ C für p > 1 gilt, so heißt das durch T erzeugte Verfahren ein Verfahren der Ordnung p, sofern man mit einem x₀ aus einer passenden Umgebung von x^∗ startet. Für p = 1 nennt man ein solches Verfahren linear konvergent (Konvergenzordnung).

Jedes Verfahren p-ter Ordnung konvergiert lokal, das heißt, es gibt eine Umgebung U von x^∗, so daß für jedes x₀ ∈ U die zugehörige Iterationsfolge x_n+1 = T(x_n) gegen x^∗ konvergiert. Insbesondere ist jedes linear konvergente Verfahren lokal konvergent.