Teilmenge A des 𝕂ⁿ, zu der Polynome f₁, …, f_r aus dem Polynomring 𝕂[x₁, …, x_n] vom Grad 1 existieren mit

\begin{eqnarray}A=\{x\in {{\mathbb{K}}}^{n}|{f}_{1}(x)=\cdots ={f}_{r}(x)=0\}.\end{eqnarray}

Die linearen Mannigfaltigkeiten sind Spezialfälle der algebraischen Mannigfaltigkeiten, d. h. Teilmengen des 𝕂ⁿ der Form (1), wo die f₁ bis f_r nicht notwendigerweise vom Grad 1 sind.

In einem beliebigen VektorraumV bezeichnet man die Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation

\begin{eqnarray}{}^{\sim }U:=\{({v}_{1},{v}_{2})\in V\times V|\exists u\in U\therefore {v}_{1}={v}_{2}+u\}\end{eqnarray}

(U Unterraum von V) als lineare Mannigfaltigkeiten. Die linearen Mannigfaltigkeiten sind also die Mengen L der Form

\begin{eqnarray}L=\{{v}_{0}+u|u\in U\}=:{v}_{O}+U.\end{eqnarray}

Die Dimension einer linearen Mannigfaltigkeit ist dann eindeutig definiert als Dimension des zugehörigen Unterraumes U. Zwei lineare Mannigfaltigkeiten L₁ = {v₁ + u₁|u₁ ∈ U₁} und L₂ = {v₂ + u₂|u₂ ∈ U₂} sind genau dann gleich, wenn U₁ = U₂(=: U) gilt und v₁ − v₂ in U liegt. Der Durchschnitt zweier linearer Mannigfaltigkeiten ist entweder leer oder wieder eine lineare Mannigfaltigkeit.

Im Falle codim U = 1 (Kodimension) spricht man von Hyperebenen (durch v_o). Jede Hyperebene H in V durch v_o ist von der Form

\begin{eqnarray}H={v}_{o}+N(f)=\{v\in V|f(v)=f({v}_{0})\}\end{eqnarray}

mit einer Linearformf.