System von mehreren linearen Differentialgleichungen für die n Funktionen y₁, …, y_n.

Ein solches System hat also die Form

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{{y}^{\prime}}_{1} & = & {a}_{11}(t){y}_{1}+\ldots +{a}_{1n}(t){y}_{n}+{b}_{1}(t)\\ \vdots & & \vdots \\ {{y}^{\prime}}_{n} & = & {a}_{n1}(t){y}_{1}+\ldots +{a}_{nn}(t){y}_{n}+{b}_{n}(t).\end{array}\end{eqnarray}

Mit

\begin{eqnarray}A(t):=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}(t) & \cdots & {a}_{1n}(t)\\ \vdots & & \vdots \\ {a}_{n1}(t) & \cdots & {a}_{nn}(t)\end{array}\right)\end{eqnarray}

und y := (y₁, …, y_n)^T, b := (b₁, …, b_n)^T erhält man die üblicherere Matrixschreibweise

\begin{eqnarray}{\text{y}}^{\prime}=A(t)\text{y}+\text{b}(t).\end{eqnarray}

Ist b(t) = 0 für alle t ∈ I, so heißt (1) homogenes Differentialgleichungssystem, sonst inhomogenes Differentialgleichungssystem. b(t) nennt man dementsprechend Inhomogenität des Differentialgleichungssystems. Ein System von Differentialgleichungen, die nicht linear in allen y₁, …, y_n sind, heißt nichtlineares Differentialgleichungssystem. Sind y₁, …, y_n Lösungen des Systems, so faßt man sie mit

\begin{eqnarray}Y(t):=({\text{y}}_{\text{1}}(t),\ldots {\text{y}}_{n}(t))\end{eqnarray}

zu einer Lösungsmatrix zusammenfassen.