Schwachfeld-Näherung an die Einsteinsche Gleichung (Einsteinsche Feldgleichungen).

In der Schwachfeldnäherung wird die Metrik g_ij

angesetzt als

\begin{eqnarray}{g}_{ij}={\eta }_{ij}+\varepsilon {h}_{ij}.\end{eqnarray}

Dabei ist η_ij = diag (1, −1, −1, −1) die Metrik der ungekrümmten Minkowskischen Raum-Zeit, und ϵ ist ein Kleinheitsparameter. Setzt man dies in die Einsteinsche Gleichung

\begin{eqnarray}{E}_{ij}=\kappa {T}_{ij}\end{eqnarray}

ein und läßt alle Ausdrücke in ϵⁿ mit n > 1 weg, erhält man die linearisierte Einstein-Gleichung. Anschließend wird an dieser Stelle ϵ = 1 gesetzt. Man definiert h = η^ijh_ij und \({f}_{ij}={h}_{ij}-\frac{h}{2}{\eta }_{ij}\). Durch eine Koordinatentransformation läßt sich erreichen, daß ∂_i f^ij = 0 gilt, d. h., es werden harmonische Koordinaten verwendet. Auf diese Weise wird erreicht, daß der Einstein-Tensor E_ij zu □f_ij proportional wird. Hier ist □ der d’Alembert-Operator der speziellen Relativitätstheorie, also ein linearer Differentialoperator.

Für die Bestimmung linearisierter Gravitationswellen im Vakuum wird der Energie-Impuls-Tensor T_ij gleich Null gesetzt, und es ist die Gleichung □f_ij = 0 zu lösen: Es ergeben sich ebene Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten und linear superponiert werden.

Die zweite wichtige Anwendung der linearisierten Einstein-Gleichung ist die Berechnung des Newtonschen Grenzwertes: Unter der Annahme, daß alle Geschwindigkeiten klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind, braucht nur die Komponente T₀₀ = ϱ ≥ 0 (ϱ ist die Massendichte) des Energie-Impuls-Tensors als von Null verschieden angenommen zu werden. In dieser Näherung sind Einsteinsche und Newtonsche Gravitationstheorie genau dann äquivalent, wenn κ = 8πG gilt. Aus der Herleitung wird deutlich, daß sich der Ausdruck \(\frac{\kappa }{2G}\) geometrisch als Oberfläche einer Kugel vom Radius 1 ergibt.