geometrische Interpretation der Lösungen einer Differentialgleichung als Linienelement.

Wir demonstrieren dies anhand einer impliziten Differentialgleichung erster Ordnung. Es seien G ⊂ ℝ³, f : G → ℝ stetig und F(x, y, y′) = 0 eine implizite Differentialgleichung erster Ordnung.

Für p ≔ y′(x) heißt das Tripel \begin{eqnarray}(x,y(x),p(x))\in G\end{eqnarray} ein Linienelement der Differentialgleichung f (x, y, y′) = 0.

Man sagt, das Linienelement gehe durch den Punkt (x, y) oder gehöre zu dem Punkt (x, y). Im Gegensatz zu einer expliziten Differentialgleichung kann es hier mehrere Linienelemente (x, y, p) zu einem Punkt geben.

Das Linienelement einer impliziten Differentialgleichung am Punkt (x₁, y₁) heißt regulär, wenn es möglich ist, f(x, y, p) = 0 in einer Umgebung von (x₁, y₁, p₁) lokal stetig nach p aufzulösen, ansonsten heißt es singulär. Entsprechend nennt man eine Lösung y(·) der Differentialgleichung regulär bzw. singulär, wenn alle Linienelemente (x, y(x), y′(x) regulär bzw. singulär sind.

Beispiel: Zu der Differentialgleichung (y′)² = 1 gibt es in jedem Punkt (x, y) die beiden Linienelemente (x, y, 1) und (x, y, −1).