manchmal auch als Satz von Arnold bezeichnet, lautet:

Es bezeichne F = (F₁,…,F_n) diejenige Abbildung einer 2n-dimensionalensymplektischen Mannigfaltigkeit M in den ℝⁿ, die durch die nIntegrale der BewegungF₁,…, F_neines integrablen Hamiltonschen Systems (M, ω, H) gegeben ist. Es sei μ ein regulärer Wert von F so, daß die Niveaufläche F⁻¹ (μ) nichtleer zusammenhängend und derart ist, daß die Flüsse der nHamiltonFelder der F_k auf F⁻¹(μ) vollständig sind.

Dann gibt es eine natürliche Zahl r zwischen 1 und n so, daß F⁻¹ (μ) diffeomorph zu einem Zylinder (S¹)^×r × ℝ^n−rist (wobei S¹den Einheitskreis bezeichnet), und der Fluß der Hamilton-Funktion H quasiperiodisch auf F⁻¹ (μ) verläuft, d. h. durch Translationen, deren Frequenzen bzw. Geschwindigkeiten von der Niveaufläche abhängen, operiert.

FallsF⁻¹(μ) außerdem noch kompakt ist (was die oben erwähnte Vollständigkeit impliziert), so ist r = n, d. h. die NiveauflächeF⁻¹ (μ) ist diffeomorph zu einem n-Torus.

Dieser Satz zeigt in geometrischer Weise, daß integrable Systeme viele invariante Untermannigfaltigkeiten besitzen, auf denen der Fluß in einfacher Weise berechenbar ist.

Ferner liegt in ihm der Ausgangspunkt für die Störungstheorie integrabler Systeme (Satz über den invarianten Torus, Satz von Kolmogorow-Arnold-Moser), was vor allem in der Himmelsmechanik Anwendung fand.