Lexikon der Mathematik: Lipschitz-(Hölder-)Klassen
auch Hölder-Klassen, Räume von Funktionen, die (für eine feste Ableitungsordnung und einen festen Exponenten) eine Hölder-Bedingung erfüllen.
Es seien m, n ∈ ℕ, 0 < α ≤ 1 und ∅ ≠ Ω ⊂ ℝn:
Dabei sei μ = (μ1,…,μn) ein Multiindex mit μv ∈ ℕ0, (v = 1,…, n), und dafür
Auf Cm (Ω) wird durch
Für eine beliebige Funktion h : Ω → ℝ sei
Damit kann nun für Funktionen f in Cm (Ω) über
(Da ∥f ∥m,Ω für eine Funktionen f ∈ Cm(Ω) endlich ist, kann rechts – statt ∥f ∥m, α,Ω< ∞ – auch ∥f ∥α,Ω< ∞ geschrieben werden.) Diese Räume sind mit der angegebenen Norm volllständig. Für α = 1 spricht man auch von einer Lipschitz-Klasse. Statt ℝ wird oft auch ℂ als Zielbereich betrachtet.
Lipschitz-(Hölder-)Klassen haben Bedeutung insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und in der Potentialtheorie. Sie wurden in den dreißiger Jahren von J. Schauder bei Randwertaufgaben für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung eingesetzt. Seine Überlegungen wurden später verallgemeinert, u. a. von C. Miranda und L. Nirenberg.
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