Lexikon der Mathematik: Ljapunow-Funktion
eine Funktion, die ein hinreichendes Kriterium für die Stabilität bzw. asymptotische Stabilität (Ljapunow-Stabilität) eines Fixpunktes (Fixpunkt eines Vektorfeldes) eines auf einer offenen Menge W ⊂ ℝn definierten Vektorfeldes liefert.
Seien dazu ein Vektorfeld f : W → ℝn und ein Fixpunkt x0 ∈ W gegeben. Eine auf einer Umgebung U ∈ W von xo definierte stetige Funktion V : U → ℝ heißt Ljapunow-Funktion (für f bzgl. x0), falls gilt:
- V ist differenzapunow-Funktioierbar auf U \ {x0},
- V(x0) = 0 und V(x) > 0 für x ∈ U \ {x0},
- DV(x)f (x) ≤ 0 für x ∈ U \ {x0}.
Gilt anstelle von 3. die Bedingung
3a. DV (x) f (x) < 0 für x ∈ U \ {x0},
so heißt V strenge Ljapunow-Funktion (für f bzgl. x0).
A. M. Ljapunow führte 1892 in seiner Dissertation das Konzept der Ljapunow-Funktion ein, die durch das folgende Ljapunow-Stabilitätskriterium die Untersuchung von Fixpunkten auf Stabilität ermöglicht:
Sei f : W → ℝnein auf einer offenen Menge W ⊂ ℝndefiniertes Vektorfeld mit einemisolierten Fixpunkt x0 ∈ W. Existiert für f bzgl. xo eine (strenge) Ljapunow-Funktion, so ist x0 (asymptotisch) stabil.
Die Schwierigkeit liegt i. allg. in der Bestimmung einer Ljapunow-Funktion, jedoch ist z. B. für die Bewegung eines Teilchens in einem Potentialfeld die Gesamtenergie eine solche:
Sei W ∈ ℝnoffen und φ : W → ℝ stetig differenzierbar. Ist q0 ∈ W lokales Minimum von φ, so ist für das Vektorfeld \(\mathop{q}\limits^{.}=p\), \(\mathop{p}\limits^{.}=-\text{grad}\,\phi \)bzgl. des Fixpunktes (q0, 0) ∈ W × ℝndie auf einer geeigneten Umgebung U × A ⊂ W × ℝnvon (q0, 0) definierte Funktion
Ljapunow-Funktionen ermöglichen die Formulierung der Ljapunow-Stabilität.
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