in der Intervallrechnung der Nachweis der Existenz einer Lösung jedes der Anfangswertprobleme \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{y}^{\prime}=f(x,y),\,\,y({x}_{0})={y}^{(0)}\in {{\bf{\text{y}}}}^{(0)}\end{array}\end{eqnarray} in einem Intervall [x₀, x_e], verbunden mit einer Intervalleinschließung der Lösungswerte zumindest auf einem Gitter x₀< x₁< … < x_e.

Dabei ist y⁽⁰⁾ ein n-komponentiger Intervallvektor. Die Funktion f : D ⊆ ℝⁿ⁺¹ → ℝⁿ wird in der Regel als so glatt vorausgesetzt, daß die Existenz von y in einer Umgebung von x₀ von vornherein gesichert ist, und im Falle der Existenz von y auf [x₀, x_e] auch Eindeutigkeit herrscht. Das Gitter wird meist adaptiv bestimmt, d. h. im Verlauf der Rechnung in Abhängigkeit von der lokalen Situation.

Eine der bekannteren Verfahrensklassen besteht pro Teilintervall [x_k, x_k+1] aus zwei Schritten, ausgehend von einem Intervallvektor y^(k), der alle Lösungswerte von (1) an der Stelle x_k einschließt. (Für k = 0 ist dieser Vektor in (1) gegeben.) Bezeichnet \(y(x;\,\tilde{x},\,\tilde{y})\) die Wertemenge aller Lösungen von y′ = f (x, y) mit \(y(\tilde{x})\in \tilde{y}\), so besteht der erste Schritt in einer Berechnung von x_k+1 und einer Grobeinschließung von y(x; x_k, y^(k), x_k ≤ x ≤ x_k+1, etwa auf die folgende Weise: Zunächst wählt man einen Intervallvektor \({\hat{\bf y}}^{(k)}\), der y^(k) im Innern enthält, und bestimmt anschließend x_k+1 so, daß mit der Schrittweite h_k = x_k+1 − x_k der Intervallvektor \begin{eqnarray}{{\bf{\text{y}}}}^{(k)}+[0,{h}_{k}]\cdot {\bf{\text{f}}}([{x}_{k},{x}_{k+1}],\,{\hat{{\bf y}}}^{(k)})\end{eqnarray} im Innern von \({\hat{\bf y}}^{(k)}\) bleibt. Dabei bezeichnet hier und im folgenden g die Intervallauswertung einer Funktion g. Der Banachsche Fixpunktsatz garantiert dann \(y(x;{x}_{k},{\bf y}^{(k)})\subseteq {\hat{\bf y}}^{(k)}\) für x_k ≤ x ≤ x_k+1.

Der zweite Schritt verfeinert an der Stelle x_k+1 die Grobeinschließung \({\hat{\bf y}}^{(k)}\) und liefert damit den Intervallvektor y^(k+1) für den nächsten Gitterabschnitt [x_k+1, x_k+2]: Mit \begin{eqnarray}\begin{array}{l}p\in {\mathbb{N}},\,\,{\tilde{y}}^{(k)}\in {{\bf{\text{y}}}}^{(k)},{f}^{[1]}=f,\\ {f}^{[j]}=\frac{1}{j}{({f}^{[j-1])}}^{\prime}=\frac{1}{j}\{\frac{\partial {f}^{[j-1]}}{\partial x}+\frac{\partial {f}^{[j-1]}}{\partial y}f\},\,j\ge 2,\\ \psi ({h}_{k},{\tilde{y}}^{(k)})={\tilde{y}}^{(k)}+\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p}{h}_{k}^{j}{f}^{[j]}({x}_{k},{\tilde{y}}^{(k)}),\\ {{\bf{\text{S}}}}_{k}=I+\displaystyle {\sum }_{j=1}^{p}{h}_{k}^{j}\frac{\partial {\text{f}}^{[j]}({x}_{k},{{\bf{\text{y}}}}^{(k)})}{\partial y}(I\,\text{Einheitsmatrix}),\\ {\tilde{\bf y}}^{(k+1)}=\psi ({h}_{k},{\tilde{y}}^{(k)})+{h}_{k}^{p+1}{f}^{[p+1]}([{x}_{k},{x}_{k+1}],{\hat{\bf y}}^{(k)})\end{array}\end{eqnarray} erhält man \begin{eqnarray}y({x}_{k+1};{x}_{k},{{\bf{\text{y}}}}^{(k)})\subseteq {\tilde{{\bf y}}}^{(k+1)}+{{\bf{\text{S}}}}_{k}({{\bf{\text{y}}}}^{(k)}-{\tilde{y}}^{(k)})\end{eqnarray} mit der Summe als Wahlmöglichkeit für y^(k+1).

Um den Wrapping-Effekt einzudämmen, verwendet man in der Praxis noch eine präkonditionierende Matrix A_k, setzt \({\bf r}^{(0)}={\bf y}^{(0)}-{\tilde{y}}^{(0)}\), A₀ = I, wählt \({\tilde{y}}^{(k+1)}\in {\tilde{y}}^{(k+1)}\) und iteriert gemäß \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{{\bf{\text{r}}}}^{(k+1)} & = & \{{A}_{k+1}^{-1}({{\bf{\text{S}}}}_{k}{A}_{k})\}{{\bf{\text{r}}}}^{(k)}+{A}_{k+1}^{-1}({\tilde{{\bf{\text{y}}}}}^{(k+1)}-{\tilde{y}}^{(k+1)}),\\ {{\bf{\text{y}}}}^{(k+1)} & = & {\tilde{{\bf{\text{y}}}}}^{(k+1)}+({{\bf{\text{S}}}}_{k}{A}_{k}){{\bf{\text{r}}}}^{(k)},\end{array}\end{eqnarray} bis x_e erreicht wird. Die Bedingung \({\tilde{y}}^{(k+1)}\in {\tilde{\bf y}}^{(k+1)}\) ist dann automatisch erfüllt. Neben A_k = I ist die Wahl A_k+1 ∈ S_kA_k oder A_k+1 = Q_k+1 üblich, wobei Q_k+1 die orthogonale Matrix der QR-Zerlegung einer beliebig gewählten (danach eventuell spalten-permutierten) Matrix aus S_kA_k ist.

Die Lösungsverifikation bei Anfangswertproblemen dient auch als Hilfsmittel beim Nachweis von Lösungen bei Randwertproblemen (Lösungsverifikation bei Randwertproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen), bei Randwertaufgaben mit Parameter und bei implizit definierten Kurven.

[1] Herzberger, J. (ed.): Topics in Validated Computations. North-Holland Amsterdam, 1994.