in der Intervallrechnung der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit von \({c}_{1}^{* },\ldots,{c}_{n}^{* }\in {\mathbb{R}}\) so, daß \begin{eqnarray}A={A}_{0}+\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{c}_{i}^{* }{A}_{i}\end{eqnarray} für gegebene reelle symmetrische (n × n)-Matrizen A_i vorgeschriebene Eigenwerte \({\lambda }_{1}^{* }\lt {\lambda }_{2}^{* }\lt \ldots \lt {\lambda }_{n}^{* }\) besitzt.

Die Aufgabenstellung wird meist ergänzt durch eine Schrankenverbesserung bis hin zu einer Einschließung von \({c}_{i}^{* }\) in ein enges Intervall, bei dem möglichst viele führende Ziffern der Intervalluntergrenze mit den entsprechenden der Intervallobergrenze übereinstimmen (Zifferngarantie für \({c}_{i}^{* }\)!).

Eines der Verfahren zur Lösungsverifikation basiert auf dem Newton-Verfahren, angewandt auf die Funktion f (c) = λ(c) − λ^* mit c = (c_i) ∈ ℝⁿ, \({\lambda }^{* }=({\lambda }_{i}^{* })\) und λ(c) = (λ_i(c)) ∈ ℝⁿ. Dabei bezeichnet λ_i(c) den i-ten Eigenwert (wachsende Ordnung) der zu A analogen, mit c_i anstelle von \({c}_{i}^{* }\) gebildeten Matrix A(c). Ist xⁱ(c) der zu λ_i(c) gehörende Eigenvektor mit xⁱ(c)^Txⁱ(c) = 1 und sign \({({x}^{i}(c))}_{{i}_{0}}\gt 0\) für eine gewisse Komponente i₀, so lautet die Newton-Gleichung \begin{eqnarray}\left({x}^{i}{(c)}^{T}{A}_{j}{x}^{i}(c)\right)({c}^{(k+1)}-c(k))=-(\lambda (c(k))-{\lambda }^{* }).\end{eqnarray}

Sie bildet den Ausgangspunkt sowohl für die Berechnung einer Näherung von \({c}_{i}^{* }\) als auch einem Verifkationsverfahren.

[1] Herzberger, J. (ed.): Topics in Validated Computations. North-Holland Amsterdam, 1994.