Aussage aus der Logik.

Der Satz wird häufig in zwei Teile gegliedert, die mit „Satz von Löwenheim-Skolem abwärts“ bzw. „Satz von Löwenheim-Skolem aufwärts“ bezeichnet werden. Zur Formulierung des Satzes benötigt man noch einige erläuternde Voraussetzungen.

Es sei L eine elementare Sprache und ∑ eine beliebige Menge von Ausdrücken in L, deren Mächtigkeit mit | ∑ | gekennzeichnet wird. Weiterhin sei κ = max{ω, |∑|}, wobei ω für „abzählbar unendlich“ steht. Unter der Mächtigkeit eines Modells \({\mathcal{A}}\) von ∑ versteht man stets die Kardinalzahl der Trägermenge von \({\mathcal{A}}\). Dann gilt:

1. (Löwenheim-Skolem abwärts:) Besitzt ∑ ein Modell, dann besitzt ∑ ein Modell mit einer Mächtigkeit ≤ κ.
2. (Löwenheim-Skolem aufwärts:) Besitzt ∑ ein unendliches Modell, dann besitzt ∑ für jede Kardinalzahl λ ≥ κ ein Modell der Mächtigkeit λ.

Für abzählbare Sprachen L (die Mächtigkeit einer Sprache wird als Mächtigkeit der Menge ihrer Ausdrücke verstanden und mit |L| bezeichnet) ist ∑ offenbar endlich oder abzählbar, und damit ist κ = ω. Dann ergibt sich aus dem Satz von Löwenheim-Skolem als Spezialfall das folgende wichtige Korollar:

1′. Besitzt ∑ ein Modell, dann besitzt ∑ ein (höchstens) abzählbares Modell.

2′. Besitzt ∑ ein unendliches Modell, dann besitzt ∑ Modelle jeder unendlichen Mächtigkeit.

Mit Hilfe des Begriffs der elementaren Unterstruktur (elementare Erweiterung einer L-Struktur) ergibt sich eine weitere (besonders für die Modelltheorie wichtige) Variante des obigen Satzes. Hierbei bezeichne \(|{\mathcal{A}}|\) die Mächtigkeit der Struktur \({\mathcal{A}}\).

1″. Jede unendlicheL-Struktur \({\mathcal{A}}\)mit \(\text{|}{\mathcal{A}}\text{|}\,\ge \,|L|\)besitzt eine elementare Unterstruktur \( {\mathcal B} \,\preccurlyeq {\mathcal{A}}\)mit \(\text{|} {\mathcal B} \text{|}\,\le \,|L|\)

2″. Ist \({\mathcal{A}}\)eine unendliche L-Struktur und \(\kappa \,\ge \,\max \{|L|,\,|{\mathcal{A}}|\}\), dann besitzt \({\mathcal{A}}\)eine elementare Erweiterung \( {\mathcal B} \)der Mächtigkeit κ.