Logarithmus, die aufgrund der strengen Monotonie und Surjektivität der Exponentialfunktion exp_a : ℝ → (0, ∞) zur Basis a ∈ (0, ∞) \ {1} zu dieser existierende Umkehrfunktion, also die Funktion \begin{eqnarray}{\mathrm{log}}_{a}={\exp }_{a}^{-1}:(0,\infty )\to {\mathbb{R}}\end{eqnarray} mit log_aa^x = x für x ∈ ℝ und \({a}^{{\mathrm{log}}_{a}x}=x\) für x > 0. Mit exp_a ist auch log_a streng antiton für a< 1 und streng isoton für a > 1. Mit der Logarithmusfunktion ln gilt \({\mathrm{log}}_{a}x=\frac{\mathrm{ln}x}{\mathrm{ln}a}\) für x > 0, insbesondere log_e = ln. Aus den Eigenschaften von ln erhält man leicht die Eigenschaften von log_a. So ist etwa log_a differenzierbar mit \({\mathrm{log}}_{a}^{{\prime}}(x)=\frac{1}{x\,\mathrm{ln}\,a}\) für x > 0, es ist log_a 1 = 0 und log_aa = 1, und es gilt die Funktionalgleichung \begin{eqnarray}{\mathrm{log}}_{a}(xy)={\mathrm{log}}_{a}x+{\mathrm{log}}_{a}y\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y\gt 0)\end{eqnarray} und damit \begin{eqnarray}{\mathrm{log}}_{a}\frac{x}{y}={\mathrm{log}}_{a}x-{\mathrm{log}}_{a}y,\end{eqnarray} insbesondere \({\mathrm{log}}_{a}\frac{1}{y}=-{\mathrm{log}}_{a}y\). Ferner gelten \({\mathrm{log}}_{a}{x}^{\alpha }=\alpha\,{\mathrm{log}}_{a}\,x\) für α ∈ ℝ und \({\mathrm{log}}_{{a}^{r}}x=\frac{1}{r}\,{\mathrm{log}}_{a}\,x\) für r ∈ ℝ \ {0}.

Die Funktionalgleichung zeigt unter Beachtung von log_a 1 = 0, daß log_a : ((0, ∞), ·) → (ℝ, +) ein Gruppenisomorphismus ist. Die Logarithmusfunktion zu allgemeiner Basis wird durch die Funktionalgleichung charakterisiert: Ist f : (0, ∞) → ℝ stetig an der Stelle 1 und nicht die Nullfunktion, und gilt f (xy) = f (x) + f (y) für alle x, y ∈ (0, ∞), so gibt es genau ein a ∈ ℝ mit f (a) = 1, und es ist f = log_a.

Außer dem natürlichen Logarithmus ln = log_e werden manchmal auch der Briggssche oder gewöhnliche oder dekadische Logarithmus lg = log₁₀ und der Duallogarithmus oder dyadische Logarithmus ld = log₂ benutzt.

Durch die Funktionalgleichung des Logarithmus wird die Multiplikation reeller Zahlen auf die Addition zurückgeführt. In Gestalt von Logarithmentafeln gewannen deswegen die Logarithmen im 17. Jahrhundert (John Neper 1614, Henry Briggs 1624) große Bedeutung für das praktische Rechnen. Von Pierre Simon Marquis de Laplace stammt die Aussage, daß die Logarithmen durch die Zeitersparnis beim Rechnen die Lebenszeit der Astronomen verdoppelten. Durch die Erfindung von (ebenfalls die Logarithmen benutzenden) Rechenschiebern, mechanischen und später elektronischen Rechenmaschinen trat diese Bedeutung der Logarithmen in den Hintergrund, aber die Logarithmusfunktion ist weiterhin in vielen Gebieten der Mathematik und ihrer Anwendungen allgegenwärtig.