Konstruktion eines Ringes aus einem gegebenen Ring R.

Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement und S ⊆ R ein multiplikativ abgeschlossenes System, d. h. s, s′ ∈ S impliziert ss′ ∈ S, und \begin{eqnarray}{R}_{S}=\left\{\frac{a}{b}|a\in R,b\in s\right\}/\sim \end{eqnarray} mit \(\frac{a}{b}\sim \frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}}\) genau dann, wenn ein s ∈ S existiert so, daß s(ab′ − a′b) = 0.

R_S ist auf natürliche Weise ein Ring und heißt die Lokalisierung von R nach S. Wenn S die Menge der Nichtnullteiler von R ist, dann ist R_S der Quotientenring von R.

Wenn ℘ ⊆ R ein Primideal ist, dann ist S_℘ ≔ R \ ℘ multiplikativ abgeschlossen und \({R}_{{S}_{\wp }}=:{R}_{\wp }\) ein lokaler Ring.

Die Konstruktion der Lokalisierung verallgemeinert die Bildung von Quotientenkörpern.