Lexikon der Mathematik: LR-Zerlegung
Zerlegung einer Matrix A ∈ ℝn×n in das Produkt A = LR, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und R eine obere Dreiecksmatrix ist.
Ist A regulär, so existiert stets eine Permutationsmatrix P ∈ ℝn×n so, daß PA eine LR-Zerlegung besitzt. Hat L dabei eine Einheitsdiagonale, d. h.
Das Ergebnis des Gauß-Verfahrens zur direkten Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b kann als LR-Zerlegung von PA interpretiert werden, wobei P eine Permutationsmatrix ist.
Die Berechnung der LR-Zerlegung einer Matrix A ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn ein lineares Gleichungssystem Ax(j) = b(j) mit derselben Koeffizientenmatrix A ∈ ℝn×n und mehreren rechten Seiten b(j) zu lösen ist. Nachdem die LR-Zerlegung von A berechnet wurde, kann jedes der Gleichungssysteme durch einfaches Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen gelöst werden.
Dazu führt man einen Hilfsvektor c(j) = Rx(j) ein und löst zunächst Lc(j) = b(j) durch Vorwärtseinsetzen. Dann bestimmt man den Lösungsvektor x(j) aus Rx(j) = c(j) durch Rückwärtseinsetzen.
Die LR-Zerlegung muß also nur einmal berechnet werden, das nachfolgende Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen benötigt im Vergleich zur Berechnung der LR-Zerlegung nur sehr wenige arithmetische Operationen.
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