durch Iteration quadratischer Polynome wie folgt definierte Menge:

Für c ∈ ℂ sei f_c das quadratische Polynom \begin{eqnarray}{f}_{c}(z):={z}^{2}+c,\end{eqnarray} und \({f}_{c}^{n}\) die n-te iterierte Abbildung von f_c. Die Mandelbrot-Menge \({\mathcal{M}}\) ist die Menge aller c ∈ ℂ derart, daß die Folge \(({f}_{c}^{n}(0))\) beschränkt ist. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Iteration rationaler Funktionen, genauer bei der Iteration quadratischer Polynome f_c. Die Namensgebung stammt von Douady, da Mandelbrot (1980) die erste Computergraphik von \({\mathcal{M}}\) erzeugt hat. Aufgrund des Aussehens nennt man \({\mathcal{M}}\) auch „Apfelmännchen“. Es zeigt sich, daß \({\mathcal{M}}\) eine sehr komplizierte Menge ist.

Die Definition der Menge \({\mathcal{M}}\) ist u. a. durch folgende Tatsache motiviert. Ist c ∈ \({\mathcal{M}}\), so ist die Julia-Menge \({{\mathcal{J}}}_{c}\) von f_c zusammenhängend. Für c ∉ \({\mathcal{M}}\) ist hingegen \({{\mathcal{J}}}_{c}\) total unzusammenhängend (eine Cantor-Menge), d.h. jede Zusammenhangskomponente von \({{\mathcal{J}}}_{c}\) besteht nur aus einem Punkt.

Zunächst werden einige elementare Eigenschaften von \({\mathcal{M}}\) zusammengestellt.

1. Für c ∉ \({\mathcal{M}}\) gilt \({f}_{c}^{n}(0)\to \infty (n\to \infty )\).
2. Es gilt \begin{eqnarray}{\mathcal{M}}=\{c\in {\mathbb{C}}:|{f}_{c}^{n}(0)|\le 2\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\text{alle}\,\,n\in {{\mathbb{N}}}_{0}\}.\end{eqnarray}
3. Es ist \({\mathcal{M}}\) eine kompakte Menge und |c| ≤ 2 für alle c ∈ \({\mathcal{M}}\). Weiter ist \({\mathcal{M}}\) symmetrisch bezüglich der reellen Achse.
4. Es ist \( {\mathcal M} \cap {\mathbb{R}}=[-2,\frac{1}{4}]\). Weiter enthält \({\mathcal{M}}\) die Kardioide\begin{eqnarray}{{\mathcal{H}}}_{0}:=\{w\in {\mathbb{C}}:|1-\sqrt{1-4w}|\lt 1\},\end{eqnarray} die man auch Hauptkardioide nennt. Man erhält \({ {\mathcal H} }_{\text{0}}\) als Bild der offenen Kreisscheibe B_1/2 (0) unter der Abbildung \begin{eqnarray}z\mapsto w=z-{z}^{2}=\frac{1}{4}-{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^{2}.\end{eqnarray}
5. Es ist \({G}_{ {\mathcal M} }:=\hat{{\mathbb{C}}}\backslash {\mathcal M} \) ein Gebiet in \(\hat{{\mathbb{C}}}\).
6. Jede Zusammenhangskomponente der Menge \({\mathcal{M}}\)° der inneren Punkte von \({\mathcal{M}}\) ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet.

Die Eigenschaft (2) kann dazu benutzt werden, eine grobe Computergraphik von \({\mathcal{M}}\) anzufertigen.

Jedem Pixel P entspricht eine komplexe Zahl c = x + iy mit x,y ∈ [−2, 2]. Für ein festes N ∈ ℕ (z. B. N = 25) berechnet man \({f}_{c}^{n}(0)\). Ist \(|{f}_{c}^{n}(0)|\gt 2\) für ein n ∈ {1, …, N}, so färbt man das Pixel P weiß, andernfalls schwarz.

Das Gebiet \({G}_{{\mathscr{M}}}\) hat große Ähnlichkeiten mit den Böttcher-Gebieten \({\mathscr{A}}(\infty )\) von Polynomen. Es existiert nämlich die Greensche Funktion von \({G}_{{\mathscr{M}}}\) mit Pol an ∞, und diese ist gegeben durch \begin{eqnarray}{g}_{{G}_{{\mathscr{M}}}}(w,\infty )=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{2}^{-n}\mathrm{log}|{f}_{w}^{n}(w)|.\end{eqnarray}

Insbesondere gilt für die Kapazität der Mandelbrot-Menge cap \({\mathscr{M}}=1\).

Weiter haben Douady und Hubbard (1982) gezeigt, daß \({G}_{{\mathscr{M}}}\) ein einfach zusammenhängendes Gebiet in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) ist. Dazu wird eine konforme Abbildungψ von \({G}_{{\mathscr{M}}}\) auf \(\Delta :=\{z\in \hat{{\mathbb{C}}}:|z|\gt 1\}\) wie folgt konstruiert. Es sei \({{\mathscr{A}}}_{w}(\infty )\) das BöttcherGebiet zum superattraktiven Fixpunkt ∞ von f_w und φ_w die zugehörige Böttcher-Funktion. Dann ist ψ(w) ≔ φ_w(w) die gesuchte konforme Abbildung. Insbesondere ist also \({\mathscr{M}}\) eine zusammenhängende Menge.

Von besonderem Interesse sind die sog. hyperbolischen Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\). Dazu sei \({\mathscr{H}}({\mathscr{M}})\) die Menge aller c ∈ ℂ derart, daß f_c einen (super)attraktiven Zyklus besitzt. Dies ist eine offene Teilmenge von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\), und eine Zusammenhangskomponente von \({\mathscr{H}}({\mathscr{M}})\) heißt hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\).

Nun sei \({\mathscr{H}}\) eine hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\). Dann besitzt f_c für jedes \(c\in {\mathscr{H}}\) einen (super) attraktiven Zyklus mit fester Länge p ∈ ℕ, und f_c ist ein hyperbolisches Polynom. Bezeichnet \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}(c)\) für \(c\in {\mathscr{H}}\) den Multiplikator des zugehörigen Zyklus von f_c, so haben Douady und Hubbard (1984) gezeigt, daß \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}\) eine konforme Abbildung von \({\mathscr{H}}\) auf \({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) liefert. Diese kann zu einem Homöomorphismus von \(\overline{{\mathscr{H}}}\) auf \(\overline{{\mathbb{E}}}\) fortgesetzt werden, und der Rand \(\partial {\mathscr{H}}\) ist eine stückweise analytische Jordan-Kurve. Weiter enthält \({\mathscr{H}}\) genau einen Punkt c₀ mit \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}({c}_{0})=0\), den man das Zentrum von \({\mathscr{H}}\) nennt. Die Funktion \({f}_{{c}_{0}}\) besitzt dann einen superattraktiven Zyklus. Schließlich enthält \(\partial {\mathscr{H}}\) genau einen Punkt c₁ mit \({\lambda }_{{\mathscr{H}}}({c}_{1})=1\), den man die Wurzel von \({\mathscr{H}}\) nennt. Je zwei hyperbolische Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) haben höchstens einen Randpunkt gemeinsam. Jeder Punkt von \(\partial {\mathscr{M}}\) ist ein Häufungspunkt von Zentren hyperbolischer Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\). Hieraus folgt insbesondere, daß \(\overline{{{\mathscr{M}}}^{\circ }}={\mathscr{M}}\).

Ist \({\mathscr{H}}\) eine hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\), so ist \(\partial {\mathscr{H}}\subset \partial {\mathscr{M}}\). Andererseits existieren Punkte \(c\in \partial {\mathscr{M}}\), die nicht Randpunkte einer hyperbolischen Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) sind. Solche Punkte sind z. B. die sog. Misiurewicz-Punkte. Diese haben die Eigenschaft, daß 0 ein strikt präperiodischer Punkt von f_c ist, d. h. es existieren m, k ∈ ℕ mit m >k, \({f}_{c}^{m}(0)={f}_{c}^{k}(0)\) und \({f}_{c}^{n}(0)\ne 0\) für alle n ∈ ℕ. Zum Beispiel sind c = ±i und c = −2 Misiurewicz-Punkte. Für jeden Misiurewicz-Punkt c ist der Orbit O⁺(0) unter f_c eine endliche Menge, und die Julia-Menge \({{\mathscr{J}}}_{c}\) ist ein Dendrit. Für c = −2 ist \({{\mathscr{J}}}_{c}=[-2,2]\). Die Misiurewicz-Punkte liegen dicht in \(\partial {\mathscr{M}}\). Ist c ∈ ℂ ein Punkt derart, daß der Orbit O⁺(0) unter f_c endlich ist, so ist c ein Zentrum einer hyperbolischen Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) oder ein Misiurewicz-Punkt.

Die Hauptkardioide \({{\mathscr{H}}}_{0}\) ist eine hyperbolische Komponente von \({\mathscr{M}}\) mit Zentrum c₀ = 0 und Wurzel \({c}_{1}=\frac{1}{4}\). Für jedes \(c\in {{\mathscr{H}}}_{0}\) besitzt f_c einen (super)attraktiven Fixpunkt, und \({{\mathscr{H}}}_{0}\) ist die einzige hyperbolische Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) mit dieser Eigenschaft. Man kann zeigen, daß die Julia-Menge \({{\mathscr{J}}}_{c}\) für jedes \(c\in {{\mathscr{H}}}_{0}\) eine quasikonforme Kurve ist. Eine weitere hyperbolische Komponente von \({\mathscr{M}}\) ist die offene Kreisscheibe B_1/4(−1). Das Zentrum ist gegeben durch c₀ = −1 und die Wurzel durch \({c}_{1}=-\frac{3}{4}\). Es ist B_1/4(−1) die Menge derjenigen c ∈ ℂ derart, daß f_c einen (super)attraktiven Zyklus der Länge 2 besitzt. Für Zyklen der Länge 3, 4 bzw. 5 existieren mehrere zugehörige hyperbolische Komponenten, nämlich 3, 6 bzw. 15.

Nun soll die Hautkardioide \({{\mathscr{H}}}_{0}\) genauer betrachtet werden. Der zugehörige Multiplikator wird mit λ₀ bezeichnet. Es gilt \({\lambda }_{0}^{-1}(z)=\frac{z}{2}-{(\frac{z}{2})}^{2}\). Hieraus erhält man für die Randkurve von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) die Parameterdarstellung \({\gamma }_{0}(t)={\lambda }_{0}^{-1}({e}^{2\pi it})\), t ∈ [0,1). Ist t = p/q rational mit teilerfremden Zahlen p, q ∈ ℕ, q ≥ 2, so existiert eine hyperbolische Komponente H_p/q von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) derart, daß \({\overline{{\mathscr{H}}}}_{p/q}\cap {\overline{{\mathscr{H}}}}_{0}={\gamma }_{0}(p/q)\). Der Punkt γ₀(p/q) ist die Wurzel von \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\). Bildlich gesprochen bedeutet dies, daß auf einer abzählbaren, dichten Menge des Randes von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) weitere „Früchte“ an dem „Hauptapfel“ hängen. Zum Beispielist W_1/2 = B_1/4(−1). Fürjedes \(c\in {{\mathscr{H}}}_{p/q}\) besitzt f_c einen attraktiven Zyklus der Länge q. Während die Randkurve von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) eine Spitze an der Wurzel \(\frac{1}{4}\) hat, sind die Randkurven von \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\) glatt.

Es bezeichne \({{\mathscr{M}}}_{p/q}^{* }\) diejenige Zusammenhangskomponente von \({\mathscr{M}}\backslash {\overline{{\mathscr{H}}}}_{0}\), die die Menge \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\) enthält. Dann ist der Ast \({{\mathscr{M}}}_{p/q}\) von \({\mathscr{M}}\) zum Argument t = p/q definiert durch \begin{eqnarray}{{\mathscr{M}}}_{p/q}:={{\mathscr{M}}}_{p/q}^{* }\cup \{{\gamma }_{0}(p/q)\}.\end{eqnarray}

Man kann zeigen, daß \begin{eqnarray}{\mathscr{M}}={\overline{{\mathscr{H}}}}_{0}\cup \displaystyle \mathop{\cup }\limits_{p/q}{{\mathscr{M}}}_{p/q}.\end{eqnarray}

Anschaulich bedeutet dies, daß aus einer abzählbaren, dichten Menge des Randes von \({{\mathscr{H}}}_{0}\) „Äste“ herauswachsen, die zusammen mit der Hauptkardioide die gesamte Mandelbrot-Menge ergeben.

Dieses Verfahren kann man unendlich oft fortsetzen, d. h. auf einer abzählbaren, dichten Menge des Randes von jedem \({{\mathscr{H}}}_{p/q}\) sitzen wieder weitere „Früchte“ (hyperbolische Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\)) bzw. „Äste“. Alle Randkurven der auf diese Weise entstehenden hyperbolischen Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) sind glatt. Es existieren jedoch auch hyperbolische Komponenten von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\), die nicht auf diese Art entstehen. Deren Randkurven besitzen jeweils eine Spitze an der Wurzel. Betrachtet man z. B. die offene Teilmenge W von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) derart, daß f_c für c ∈ W einen (super)attraktiven Zyklus der Länge 3 besitzt, so besteht diese aus drei hyperbolischen Komponenten W₁, W₂, W₃. Deren Zentren z₁, z₂, z₃ sind gegeben durch die Nullstellen der kubischen Gleichung z³ + 2z² + z +1 = 0. Man erhält z₁ ≈ −1, 75488 und z_2,3 ≈ −0,12256 ± 0.74486i. Es gilt \({W}_{2}={{\mathscr{H}}}_{1/3}\) und \({W}_{3}={{\mathscr{H}}}_{2/3}\). Daher sind die Randkurven von W₂ und W₃ glatt, während die von W₁ eine Spitze an der Wurzel besitzt.

Abschließend wird noch auf zwei Vermutungen eingegangen, die bislang (2000) unbewiesen sind.

(V1) Es ist \(\partial {\mathscr{M}}\) eine Kurve.

(V2) Es gilt \({\mathscr{H}}({\mathscr{M}})={{\mathscr{M}}}^{\circ }\), d.h. jede Zusammenhangskomponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\) ist hyperbolisch.

Man kann zeigen: Falls (V1) richtig ist, so auch (V2). Äquivalent zu (V1) ist die Frage, ob die Umkehrabbildung ψ⁻¹ der obigen konformen Abbildung ψ von \({G}_{{\mathscr{M}}}\) auf ∆ stetig auf \(\overline{{\rm{\Delta }}}\) fortgesetzt werden kann. Hierzu liegen bisher nur Teilergebnisse vor. Der folgende Satz stammt von Douady und Hubbard (1984).

Für jede rationale Zahl t = p/q ∈ (0, 1] mit teilerfremden Zahlen p, q ∈ ℕ existiert der radiale Grenzwert\begin{eqnarray}{c}_{t}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 1+}{\psi }^{-1}(r{e}^{2\pi it})\in \partial {\mathscr{M}}.\end{eqnarray}

Weiter gilt:

1. Ist q gerade, so ist c_t ein Misiurewicz-Punkt.
2. Ist q ungerade, so ist c_t die Wurzel einer hyperbolischen Komponente von \({{\mathscr{M}}}^{\circ }\).

Die Menge S_t ≔ {ψ⁻¹(re^2πit) : 1 < r< ∞} nennt man auch einen externen Strahl von \({\mathscr{M}}\), und die Aussage des obigen Satzes drückt man dann wie folgt aus: Ist t rational, so landet der externe Strahl S_t auf \(\partial {\mathscr{M}}\). Einige Beispiele für die Landepunkte c_t:

1. \({c}_{0}={c}_{1}=\frac{1}{4}\). Dies ist die Wurzel der Hauptkardioide \({{\mathscr{H}}}_{0}\).
2. c_1/2 = −2.
3. \({c}_{1/3}={c}_{2/3}=-\frac{3}{4}\). Dies ist die Wurzel der hyperbolischen Komponente \({{\mathscr{H}}}_{1/2}={B}_{1/4}(-1)\).
4. c_1/6 = i, c_5/6 = −i.
5. c_1/7 = c_2/7 = γ₀(1/3), \({c}_{5/6}={c}_{6/7}={\gamma }_{0}(2/3)=\overline{{\gamma }_{0}(1/3)}\). Dies sind die Wurzeln der hyperbolischen Komponenten \({{\mathscr{H}}}_{1/3}\) bzw. \({{\mathscr{H}}}_{2/3}\). Weiter ist c_3/7 = c_4/7 die Wurzel der hyperbolischen Komponente W₁ mit Periode 3 und Zentrum z₁ ≈ −1,75488.

Schließlich sei noch erwähnt, daß die Hausdorff-Dimension von \(\partial {\mathscr{M}}\) gleich 2 ist.