Lexikon der Mathematik: Markowsche Halbgruppe
Markow-Halbgruppe, auch Halbgruppe der Übergangswahrscheinlichkeiten genannt, Familie (Pt)t≥0 von Markow-Kernen auf einem meßbaren Raum \((E,{\mathfrak{B}})\) mit der Eigenschaft, daß für alle \(s,t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) und beliebige x ∈ E, \(B\in {\mathfrak{B}}\) die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen
Ist speziell P0 der Einheitskern, so heißt die Halbgruppe normal. Zwischen den normalen Markowschen Halbgruppen und den Markow-Familien besteht ein enger Zusammenhang. Einerseits existiert zu jeder normalen Markowschen Halbgruppe (Pt)t≥0 auf \(({{\mathbb{R}}}^{n},{\mathfrak{B}}\text{(}{{\mathbb{R}}}^{n}\text{)})\) eine n-dimensionale Markow-Familie \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},{({P}^{x})}_{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}},{({X}_{t})}_{t\ge 0})\) so, daß für alle \(t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\), x ∈ ℝn und \(B\in {\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) die Beziehung
Eine Markowsche Halbgruppe induziert eine Familie (Tt) von linearen Operatoren auf dem Raum aller beschränkten meßbaren Funktionen gemäß
Die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen sind dann zur Halbgruppeneigenschaft Ts+t = TsTt äquivalent. Besonders wichtig sind Markowsche Halbgruppen, die zu Feller-Dynkin-Halbgruppen von Operatoren führen.
Für jedes x ∈ ℝn stimmen die endlichdimensionalen Verteilungen des Prozesses (Xt)t≥0 auf \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},{P}^{x})\) mit den endlichdimensionalen Verteilungen des aus der Halbgruppe (Pt)t≥0 und Px in kanonischer Weise konstruierten Prozesses überein, d. h. für beliebiges n ∈ ℕ und \({t}_{1},\ldots, {t}_{n}\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) mit t1< … < tn sowie \(B\in {\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) gilt
Aufgrund der obigen Beziehungen kann man den Wert Pt(x, B) als die Wahrscheinlichkeit dafür interpretieren, daß sich ein zum Zeitpunkt Null in x startendes Teilchen zum Zeitpunkt t in B befindet. Man nennt die zu einer Markow-Familie gehörige normale Markowsche Halbgruppe daher auch die Halbgruppe der Übergangswahrscheinlichkeiten.
Ein Beispiel für eine normale Markowsche Halbgruppe (Pt)t≥0 auf \(({\mathbb{R}},{\mathfrak{B}}({\mathbb{R}}))\) ist die durch
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