auf dem Hilbertschen Folgenraum ℓ²(ℤ) definierter diskreter Operator.

Seien A, α, v ∈ ℝ. Der für f ∈ ℓ²(ℤ) durch (M_{A, α, v}f)(n) ≔ f(n + 1) + 2A cos(2πnα − v)f(n) + f (n − 1) (n ∈ ℤ) definierte Operator heißt (diskreter) Mathieu-Operator und ist als Differenzenoperator das diskrete Analogon zum in der Mathieuschen Differentialgleichung (Mathieu-Funktion) auftretenden Differentialoperator.

Er spielt u. a. in der Festkörperphysik eine wichtige Rolle. Bezeichnet α(A, α, v) das Spektrum von M_{A, α, v}, so wird oft \(S(A,\alpha ):={\cup }_{v\in {\mathbb{R}}}\sigma (A,\alpha, v)\) untersucht.

Das Diagramm, das das Spektrum S(1, α) des diskreten Mathieu-Operators darstellt, wird wegen seiner Ähnlichkeit mit einem Schmetterling nach dem Physiker Douglas R. Hofstadter auch Hofstadter-Schmetterling genannt. Hofstadter untersuchte als erster numerisch das Spektrum S(1, α) in Abhängigkeit vom Parameter α. Der Hofstadter-Schmetterling zeigt fraktale Eigenschaften; bisher ist die Vermutung von Mark Kac, daß für jedes irrationale α das Spektrum S(1, α) eine Cantor-Menge ist, nicht bewiesen (sog. Ten Martini Problem).