Matrixfunktion, die die skalare Exponentialfunktion verallgemeinert.

Für quadratische Matrizen A ist die MatrixExponentialfunktion definiert durch \begin{eqnarray}{e}^{A}=\exp (A)=I+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k!}{A}^{k},\end{eqnarray} wobei I die Einheitsmatrix ist. Diese Reihe konvergiert für jede quadratische reelle oder komplexe Matrix A.

Die Matrix-Exponentialfunktion erfüllt nicht mehr die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Ist jedoch B eine weitere Matrix, die mit A vertauschbar ist, die also AB = BA erfüllt, so gilt \begin{eqnarray}{e}^{A+B}={e}^{A}\cdot {e}^{B}.\end{eqnarray}

Für eine invertierbare Matrix B gilt \begin{eqnarray}{e}^{{B}^{-1}AB}={B}^{-1}{e}^{A}B,\end{eqnarray} und für eine Diagonalmatrix \begin{eqnarray}A=\text{diag}({\lambda }_{1},\ldots, {\lambda }_{n}):=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_{1} & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & {\lambda }_{n}\end{array}\right)\end{eqnarray} schließlich \begin{eqnarray}{e}^{A}={e}^{\text{diag}({\lambda }_{1},\ldots, {\lambda }_{n})}=\text{diag}({e}^{{\lambda }_{1}},\ldots, {e}^{{\lambda }_{n}}).\end{eqnarray}

Man findet hier also in gewissem Sinne die „gewohnten“ Gesetze für die Exponentialfunktion wieder, wobei man sich aber immer darüber klar sein muß, daß es sich hierbei um das Rechnen mit Matrizen handelt.

Man kann die Matrix-Exponentialfunktion anwenden, um bestimmte Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu lösen. Ist mit einer reellen (n × n)-Matrix A das Anfangswertproblem \begin{eqnarray}{{\bf{\text{y}}}}^{\text{'}}(x)=A{\bf{\text{y}}}(x),\quad {\bf{\text{y}}}({x}_{0})={{\bf{\text{y}}}}_{0}\end{eqnarray} mit x₀ ∈ ℝ und y₀ ∈ ℝⁿ gegeben, so läßt sich die Lösung hiervon angeben als \begin{eqnarray}{\bf{\text{y}}}(x)={e}^{(x-{x}_{0})A}{{\bf{\text{y}}}}_{0}.\end{eqnarray}

Mit der Abbildung \begin{eqnarray}{\rm{\Phi }}:{{\mathbb{R}}}^{n}\times {\mathbb{R}}\to {{\mathbb{R}}}^{n},\quad {\rm{\Phi }}({{\bf{\text{y}}}}_{0},x):={e}^{(x-{x}_{0})A}{{\bf{\text{y}}}}_{0}\end{eqnarray} bildet dann (ℝⁿ, ℝ, Φ) ein dynamisches System (Fluß), und man bezeichnet A als erzeugenden Operator dieses Flusses.