bei der Dualisierung des Approximationsproblems auftretende lineare Abbildung nach ℝ.

Es sei (H, ||⋅||) ein normierter Raum und G ein (eventuell unendlich-dimensionaler) Teilraum von H. Weiter sei \begin{eqnarray}d(f,G)=\text{inf}\{\Vert f-g\Vert :g\in G\}\end{eqnarray} die Minimalabweichung (beste Approximation) von G zu f ∈ H. Der Dualraum von H besteht aus den linearen Funktionalen λ: H ↦ ℝ. Mit dem Satz von Hahn-Banach kann man nachweisen, daß für jedes lineare Funktional λ mit den Eigenschaften \begin{eqnarray}\begin{array}{ll} & \lambda (g)=0,g\in G,\\ \text{und} & \Vert \lambda \Vert =\text{sup}\{|\lambda (h)|\text{:}h\in H,\Vert h\Vert =1\}\le \text{1}\end{array}\end{eqnarray} stets |λ(f)| ≤ d(f, G) gilt. Ein solches lineares Funktional λ heißt nun maximales lineares Funktional für f, falls \begin{eqnarray}|\lambda (f)|=d(f,G)\end{eqnarray} erfüllt ist. Damit stellt die Konstruktion eines maximalen linearen Funktionals das duale Problem zum Bestimmen einer besten Approximation in G dar.

Maximale lineare Funktionale sind im allgemeinen nicht eindeutig festgelegt. Dies gilt selbst in jenen Fällen, in denen eine eindeutige beste Approximation g_f ∈ G an f existiert. Ist H jedoch ein Hilbertraum mit Skalarprodukt (.,. ) : H × H ↦ ℝ, so wird im Fall f ∈ G, durch \begin{eqnarray}{\lambda }_{f}(h)=\frac{(f-{g}_{f},h)}{\Vert f-{g}_{f}\Vert },h\in H,\end{eqnarray} ein maximales lineares Funktional bis auf einen konstanten Faktor vom Betrag 1 eindeutig festgelegt. Diese Situation liegt beispielsweise bei der L₂-Approximation vor.