funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in Gholomorphe Funktion, und | f | besitze an z₀ ∈ G ein lokales Maximum, d. h. es gibt eine Umgebung U ⊂ G von z₀mit | f (z)| ≤ | f (z₀ )| für alle z ∈ U. Dann ist f konstant in G.

Deutet man die reelle Zahl |f (z)| als Höhe im Punkt z senkrecht zur z-Ebene, so erhält man über G ⊂ ℂ = ℝ² eine Fläche im ℝ³, die man auch die „analytische Landschaft“ von f nennt. Das Maximumprinzip bedeutet dann anschaulich, daß es in der analytischen Landschaft einer holomorphen Funktion keine echten Gipfel gibt.

Eine Variante des Maximumprinzips für beschränkte Gebiete lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f eine auf \(\overline{G}\)stetige und in G holomorphe Funktion. Dann nimmt die Funktion |f| ihr Maximum auf dem Rand an, d. h. es gilt\begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{z\in \overline{G}}|f(z)|=\mathop{\max }\limits_{z\in \partial \overline{G}}|f(z)|.\end{eqnarray}