Lexikon der Mathematik: mehrdimensionales Integral
ein wesentliches Werkzeug der mehrdimensionalen Analysis.
Es sei ein (relativ) einfacher Zugang dazu skizziert-Für ein beliebiges beschränktes Intervall mit den Endpunkten a und b (−∞ < a ≤ b< ∞) notieren wir hier |a, b|, also
Damit seien das Intervallsystem
Für n ∈ ℕ werden – in Verallgemeinerung der Intervalle (n = 1), Rechtecke (n = 2) und 3-dimen- sionalen Quader (n = 3) –
Für A ⊂ ℝn bezeichne χA (x) die charakteristische Funktion von A (charakteristische Funktion einer Menge). Dann liefert die lineare Hülle von \(\{{\chi }_{A}|A\in {{\mathbb{I}}}_{n}\}\) gerade
Durch
- \({{\mathfrak{E}}}_{n}\ni h\ge 0\Rightarrow {i}_{n}(h)\ge 0\) a’) in ist isoton.
- \({{\mathfrak{E}}}_{n}\ni h\Rightarrow |h|\in {{\mathfrak{E}}}_{n}\wedge |{i}_{n}(h)|\le {i}_{n}(|h|)\).
- \({{\mathfrak{E}}}_{n}\ni h,k\Rightarrow h\vee k,h\wedge k\in {{\mathfrak{E}}}_{n},h\cdot k\in {{\mathfrak{E}}}_{n}\).
Für \(f\in {{\mathfrak{F}}}_{n}\) sei – mit infø ≔ ∞ –
\(||||:{{\mathfrak{F}}}_{n}\to [0,\infty ]\) ist dann eine Integralnorm, d. h. ∥0∥ = 0 und
Zusätzlich hat man hier
Das Prinzip der Integralfortsetzung (stetige Fortsetzung) liefert für
\({\Im }_{n}\) ist Unterraum von \({{\mathfrak{F}}}_{n}\) mit \({{\mathfrak{E}}}_{n}\subset {\Im }_{n}\) es existiert eindeutig \(\overline{{\iota }_{n}}:{\Im }_{n}\to {\mathbb{R}}\) linear mit
Die Funktionen aus \({\Im }_{n}\) heißen Riemann-integrierbar und \(\overline{{\iota }_{n}}\) Riemann-Integral. Statt \(\overline{{\iota }_{n}}(f)\) notiert man meist wieder in(f) oder auch
Es handelt sich hier i. allg. nicht um Hintereinanderausführung eindimensionaler Integrationen.
(Für den Zusammenhang vergleiche man Mehrfachintegral und iterierte Integration. Zur praktischen Berechnung solcher Integrale Normalbereiche. Daneben ist insbesondere auch der Transformationssatz für das Riemann-Integral auf dem ℝn (und entprechend für das Lebesgue-Integral) hilfreich.)
Die obigen Eigenschaften (a) bis (c) gelten entsprechend für \({\Im }_{n}\) und \(\overline{{\iota }_{n}}\). Zusätzlich hat man:
Mit abgeänderten Integralnormen erhält man in gleicher Weise das mehrdimensionale uneigentliche Riemann-Integral und das Lebesgue-Integral.
[1] Hoffmann, D.; Schäfke, F.-W.: Integrale. B.I.-Wissen- schaftsverlag Mannheim Berlin, 1992.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis III. Spektrum Akademischer Verlag, 1999.
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