Lexikon der Mathematik: Mehrzielmethode
Mehrfachschießverfahren, Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Rand-wertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen in Verallgemeinerung des Schießverfahrens.
Ist das Randwertproblem gegeben in der Form
dann versucht die Mehrzielmethode die Werte \({\hat{s}}_{k}:=y({x}_{k})\) an mehreren fest vorgegebenen Stellen
gleichzeitig iterativ zu berechnen.
Seien dazu y(x; xk, sk) die Lösungen der Anfangswertprobleme
Ziel ist es, die sk so zu bestimmen, daß die stückweise aus den y(x; xk, sk) gebildete Funktion
stetig ist und obige Randbedingung erfüllt. y ist dann eine Lösung des gesuchten Randwertproblems.
Aus der Stetigkeitsforderung ergeben sich die Bedingungen
an die sk, welche als nichtlineares Gleichungssystem iterativ gelöst werden können. Dabei werden die Werte y(xk+1; xk, sk) mittels eines Verfahrens für Anfangswertaufgaben (z. B. einem Einschrittverfahren) ebenfalls iterativ ermittelt. Das gleiche gilt für eventuell benötigte Ableitungen in der Jacobi-Matrix, falls das Newtonverfahren für die Berechnung der sk eingesetzt wird.
Die Mehrzielmethode kann man ohne Probleme auch auf Systeme von Differentialgleichungen übertragen. Läßt man m → ∞ streben, so konvergiert die Mehrzielmethode gegen ein allgemeines Newtonverfahren für Randwertaufgaben, welches auch als Quasilinearisierung bekannt ist.
[1] Stoer, J.; Bulirsch, R.: Einführung in die Numerische Mathematik II. Springer Verlag, Berlin, 1978.
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