lautet:

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge, K^c := ℂ\K zusammenhängend, und es bezeichne K° die Menge der inneren Punkte von K. Weiter sei f : K → ℂ eine auf K stetige und in K° holomorphe Funktion.

Dann existiert zu jedem ϵ > 0 ein Polynom P derart, daß |f(z) − P(z)| < ϵ für alle z ∈ K. Insbesondere existiert eine Folge (P_n) von Polynomen, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert.

Die Voraussetzungen dieses Satzes können nicht abgeschwächt werden. Ist nämlich K ⊂ ℂ eine beliebige kompakte Menge und (P_n) eine Folge von Polynomen, die auf K gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert, so ist f stetig auf K und holomorph in K°. Außerdem kann dann f zu einer auf \(\hat{K}\) stetigen und in \(\hat{K}^\circ \) holomorphen Funktion fortgesetzt werden. Dabei bezeichnet \(\hat{K}\) die sog. polynom-konvexe Hülle von K. Diese entsteht durch Vereinigung von K mit allen beschränkten Zusammenhangskomponenten von K^c. Es ist \(\hat{K}\) die kleinste kompakte Menge derart, daß \(K\subset \hat{K}\) und \({\hat{K}}^{c}\) zusammenhängend ist.

Die Aussage des Satzes gilt natürlich auch, falls K° leer ist. In diesem Fall ist die Voraussetzung der Holomorphie von f in K° automatisch erfüllt. Im Spezialfall K = [−1, +1] ergibt sich der Weierstraßsche Approximationssatz.

Der Satz von Mergelyan ist einer der zentralen Sätze über Polynomapproximation holomorpher Funktionen. Eine interessante Folgerung lautet:

Es existiert eine feste in 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} konvergente Potenzreihe \(\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_{k}{z}^{k}\)mit Partial-summen \({s}_{n}(z)=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n}{a}_{k}{z}^{k}\)mit folgender Eigenschaft: Zu jeder kompakten Menge K ⊂ ℂ mit \(K\cap \bar{E}=\varnothing\)und zusammenhängendem K^c, und zu jeder auf K stetigen und in K° holomorphen Funktion f existiert eine Indexfolge (n_k) derart, daß die Folge \(({s}_{{n}_{k}})\)auf K gleichmäßig gegen f konvergiert.

Eine Potenzreihe mit dieser Eigenschaft nennt man auch universelle Potenzreihe.