ein „Hilfssatz“ in einer 1874 publizierten Arbeit von Mertens:

Für x ≥ 2 glit\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{p\le x}\frac{\mathrm{log}p}{p}=\mathrm{log}x+R(x);\end{eqnarray}

die Summe erstreckt sich hierbei über alle Primzahlen p ≤ x, und für den Restterm gilt\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}-1-\mathrm{log}4\lt R(x)\lt \mathrm{log}4 & f\ddot{u}r\quad alle\end{array}x\ge 2.\end{eqnarray}

Dieser Satz von Mertens erlaubt es, einige interessante Resultate über die Asymptotik gewisser zahlentheoretischer Funktionen zu beweisen, z. B.:

Es gibt eine reelle Konstante B₁derart, daß für x ≥2 gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{p\le x}\frac{1}{p}=\mathrm{log}\mathrm{log}x+{B}_{1}+R(x);\end{eqnarray}

hierbei ist wieder die Summe über alle Primzahlen p ≤ x zu erstrecken, und der Restterm erfüllt die Ungleichung\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|R(x)|\lt \displaystyle\frac{2(1+\mathrm{log}4)}{\mathrm{log}x} & f\ddot{u}r\quad alle\,x\end{array}\ge 2.\end{eqnarray}

Die Konstante B₁läßt sich berechnen als\begin{eqnarray}{B}_{1}=\gamma +\displaystyle \sum _{p}\left(\mathrm{log}\left(1-\frac{1}{p}\right)+\frac{1}{p}\right)\approx 0.261497,\end{eqnarray}

wobei γ die Euler-Mascheronische Konstante bezeichnet, und die Summe über alle Primzahlen zu erstrecken ist.

Damit löste Mertens ein Problem, mit dem sich zuvor schon Legendre und Tschebyschew beschäftigt hatten, nämlich die Existenz des Grenzwerts \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }\left(\displaystyle \sum _{p\le x}\frac{1}{p}-\mathrm{log}\mathrm{log}x\right).\end{eqnarray}

Das folgende Resultat wird heute meist als Formel von Mertens bezeichnet:

Für x ≥2 gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{p\le x}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{{e}^{-\gamma }}{\mathrm{log}x}\left(1+O\left(\frac{1}{\mathrm{log}x}\right)\right);\end{eqnarray}

hierbei ist das Produkt über alle Primzahlen p ≤ x zu erstrecken, und γ bezeichnet die Euler-Mascheronische Konstante.