gelegentlich auch metrischer Tensor genannt, ein zweifach kovariantes symmetrisches Tensorfeld g auf einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit Mⁿ.

Der metrische Fundamentaltensor definiert in jedem Tangentialraum T_x(Mⁿ) eine Bilinearform, ⟨X, Y⟩ = g_x(X,Y), die das Bogenelement oder die metrische Fundamentalform von g genannt wird (x ∈ Mⁿ, X, Y ∈ T_x(Mⁿ)). Sind Z₁, …, Z_n linear unabhängige differenzierbare Vektorfelder auf einer offenen Menge 𝒰 ⊂ Mⁿ, so besitzt jedes andere differenzierbare Vektorfeld eine eindeutig bestimmte Darstellung als Linearkombination der Z_i, und die metrische Fundamentalform wird durch die symmetrische Matrix g_ij(x) = g(Z_i, Z_j) bestimmt. Es gilt dann für \(X= \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\xi }^{i}{Z}_{i}\) und \(Y= \sum \nolimits_{i=1}^{n}{\eta }^{j}{Z}_{j}\)\begin{eqnarray}\langle X,Y\rangle =\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{g}_{ij}{\xi }^{i}{\eta }^{j}.\end{eqnarray}

In einem lokalen Koordinatensystem (x₁…, x_n) auf Mⁿ kann man für Z_i die Tangentialvektoren ∂_i = ∂/∂x_i an die Koordinatenlinien wählen. Dann hat die metrische Fundamentalform die Darstellung \begin{eqnarray}d{s}^{2}=\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^{j}\end{eqnarray}

und wird in dieser Form als Bogenelement, d. h. als Quadrat des Differentials der Bogenlänge der differenzierbaren Kurven in Mⁿ angesehen.

Man unterscheidet ausgeartete und nicht ausgeartete metrische Fundamentaltensoren, je nachdem, ob die Determinate det(g_ij) = 0 ist oder ≠ 0. Ein nicht ausgearteter metrischer Fundamentaltensor heißt Riemannsche Metrik. Riemannsche Metriken unterteilt man in positiv definite und indefinite, je nachdem ob ⟨X, X⟩ > 0 für alle Vektoren X ≠ 0 gilt, oder ob dieser Ausdruck auch negative Werte annehmen kann.