Methode zur Konstruktion von Punktschätzungen.

Sei X eine Zufallsgröße, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung P_γ bis auf einen unbekannten Parameter γ ∈ Γ ⊆ ℝ^k bekannt ist. Der Parameter γ ist mit der Minimum-χ²-Methode zu schätzen. Dazu zerlegt man den Wertebereich von X in k disjunkte Klassen K₁, …, K_r. Es sei nun \({\overrightarrow{X}}_{n}=({X}_{1},\mathrm{...},{X}_{n})\) eine mathematische Stichprobe vom Umfang n von X, d. h., die Zufallsgrößen X_i sind stochastisch unabhängig voneinander und identisch wie X verteilt. Die Größe H_n(K_j) sei die absolute Klassenhäufigkeit der Klasse K_j, d. h., die Anzahl der Stichprobendaten X_i, i = 1, …, n, die in die Klasse K_i fallen, und es sei \({\overrightarrow{H}}_{n}=({H}_{n}({K}_{1}),\mathrm{..},{H}_{n}({K}_{r}))\) Demgegenüber ist np_j(γ) mit p_j(γ) = P_γ (X ∈ K_j) die bei Vorliegen der Verteilung P_γ erwartete absolute Klassenhäufigkeit der Klasse K_j. Man bildet mit diesen Häufigkeiten die Größe \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}S({\overrightarrow{H}}_{n},\gamma )=\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\frac{{({H}_{n}({K}_{j})-n{p}_{j}(\gamma ))}^{2}}{n{p}_{j}(\gamma )}, & & (1)\end{array}\end{eqnarray}

die mitunter auch als χ²-Abstandsfunktion bezeichnet wird. Unter einer Minimum-χ²-Schätzung \({\hat{\gamma }}_{n}=T({\overrightarrow{X}}_{n})\) für γ versteht man eine Lösung des Minimum-Problems \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}S({\overrightarrow{H}}_{n},{\hat{\gamma }}_{n})=\mathop{\inf }\limits_{\gamma \in \Gamma }S({\overrightarrow{H}}_{n},\gamma ). & & (2)\end{array}\end{eqnarray}

Die Minimum-χ²-Methode liefert unter bestimmten Regularitätsbedingungen konsistente, asymptotisch normalverteilte und asymptotisch effektive Punktschätzungen für γ. Eine Folge konsistenter Minimum-χ²-Schätzungen \({({\hat{\gamma }}_{n})}_{n}\) ist in dem Sinne asymptotisch äquivalent zu einer Folge konsistenter Maximum-Likelihood-Schätzungen \({({\hat{\gamma }}_{n}^{* })}_{n}\) daß die Differenz \(\sqrt{n}({\hat{\gamma }}_{n}-{\hat{\gamma }}_{n}^{*})\) für n → ∞ in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert. Darüber hinaus besitzt die Zufallsgröße \(S({\overrightarrow{H}}_{n},{\hat{\gamma }}_{n})\) eine asymptotische χ²-Verteilung mit r + k − 1 Freiheitsgraden.

[1] Witting, H.; Nölle, G.: Angewandte Mathematische Statistik. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig, 1970.