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Lexikon der Mathematik: Minimumprinzip

lautet:

Es sei G ⊂ ℂ einGebiet, f eine in Gholomorphe Funktion und |f| besitze an z0G ein lokales Minimum, d. h. es gibt eine Umgebung UG von z0mit |f(z)| ≥ |f(z0)| für alle zU. Dann ist f(z0) = 0 oder f konstant in G.

Eine Variante des Minimumprinzips für beschränkte Gebiete lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f eine auf \(\bar{G}\)stetige und in G holomorphe Funktion. Dannbesitzt f mindestens eine Nullstelle in G oder die Funktion | f| nimmt ihr Minimum auf dem Rand an, d. h. es gilt\begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{z\in \bar{G}}|f(z)|=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\in \partial G}|f(z)|.\end{eqnarray}

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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