Lexikon der Mathematik: Mittelwertsätze der Integralrechnung
Aussagen über Mittelwerteigenschaften des Integrals. Man kennt i.w. zwei Mittelwertsätze der Integralrechnung:
Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung: Ist eine (reellwertige) Funktion f über einem Intervall [a, b] (füra, b ∈ ℝ mit a < b) Riemannintegrierbar, so gibt es eine reelle Zahl µ (Mittelwert von f) mit
und
Ist f stetig, so gilt µ = f(ξ) mit einem geeigneten ξ ∈ [a, b].
Dieser Satz kann einfach erweitert werden zu:
Sind die (reellwertigen) Funktionen f und g über [a, b] Riemann-integrierbar, und hat zudem g konstantes Vorzeichen, so gibt es eine reelle Zahl µ (Mittelwert von f) mit
und
Ist f stetig, so gilt µ = f(ξ) mit einem geeigneten ξ ∈ [a, b].
Insbesondere dieser erweiterte Mittelwertsatz ist hilfreich für die Abschätzung von Integralen.
Statt des Intervalls [a, b] kann (für n ∈ ℕ ) ein geeigneter Bereich im ℝn zugelassen werden. Auch können über das Lebesgue-Integral allgemeinere Funktionen betrachtet werden. Für den Zusatz geht man dann von einem zusammenhängenden Definitionsbereich aus.
Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung: Es seien f und g auf [a, b] definierte (reellwertige) Funktionen. Ist f monoton und g stetig, so gibt es ein η ∈ [a, b] mit
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