Lexikon der Mathematik: mittlere Krümmung
die differentielle Invariante h = (k1 + k2)/2 einer regulären Fläche ℱ ⊂ ℝ3, wobei k1 und k2 die beiden Hauptkrümmungen von ℱ sind.
Somit ist 2 h gleich der Spur der Weingartenabbildung von ℱ. Ist Φ(u, v) eine auf einer offenen Menge U ⊂ ℝ2 definierte Parameterdarstellung von ℱ, und sind E, F, G die Koeffizienten der ersten und L, M, N die der zweiten Gaußschen Fundamental-form, so wird h in den Koordinaten u und v als Funktion der Punkte von ℱ durch
ausgedrückt. Zwei wichtige Spezialfälle dieser Formel:
(a) Hat Φ die Gestalt Φ(u, v) = (u, v, z(u, v))⊤ mit einer differenzierbaren Funktion z(u, v), deren partielle Ableitungen nach u und v wir mit zu und zv bezeichnen, so gilt
(b) Ist Φ eine konforme Parameterdarstellung, d. h., gilt E(u, v) = G(u, v) und F(u, v) = 0, so vereinfacht sich die Formel (1) zu h = (L + N)/2 E.
Bezeichnet n = Φu × Φv/||Φu × Φv|| den Einheitsnormalenvektor von ℱ, so besteht die folgende Beziehung zwischen n, h, E und dem Laplaceoperator von ΔΦ:
Diese Gleichung zeigt, daß die Komponenten einer konformen Parameterdarstellung einer Minimalfläche harmonische Funktionen sind.
Eine elementargeometrische Erklärung der mittleren Krümmung ist folgende: Betrachtet man einen Punkt x ∈ F und die Vollkugel Kr(x) = {y ∈ ℝ3; ||x − y|| ≤ r} um x vom Radius r, so ist für kleine Werte von r der Flächeninhalt des Teiles Kr(x) ∩ ℱ von ℱ eine Funktion der Gestalt τx(r) r2, wobei die Werte der Funktion τx(r) für r → 0 gegen 2 π streben; es gilt:
Die mittlere Krümmung h(x) von F im Punkt x ist gleich dem Grenzwert
In Analogie zum Vorgehen bei Flächen im ℝ3 wird die mittlere Krümmung auch für (n − 1)-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeiten Nn− 1 ⊂ Mn einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Mn als Quotient der Spur der Weingartenabbildung von Nn− 1 und der Dimension n − 1 definiert.
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