hilfreiche Methode zur Konstruktion von Modellen mit besonderen Eigenschaften.

Es sei L eine abzählbare elementare Sprache, C eine abzählbar-unendliche Menge von Individuenzeichen, die sämtlich nicht in L vorkommen, und L(C) die Sprache, die aus L durch Hinzunahme der Individuenzeichen aus C entsteht. Weiterhin sei T eine in L formulierte konsistente Theorie (konsistente Formelmenge, elementare Sprache). Jede endliche Menge von atomaren und verneinten atomaren Aussagen aus L(C) heißt Bedingung für T. Bedingungen werden mit p, q bezeichnet, φ und ψ seien Aussagen aus L(C). Zwischen Bedingungen und Aussagen wird induktiv (über die Kompliziertheit von Aussagen) die Forcing-Relation ⊩ bezüglich T wie folgt definiert:

1. Ist φ atomar, so gilt: p ⊩ φ ⇔ φ ∈ p.
2. p ⊩ ¬φ ⇔ es gibt keine Bedingung q ⊇ p mit q ⊩ φ.
3. p ⊩ φ ∨ ψ ⇔ p ⊩ φ oder p ⊩ ψ.
4. p ⊩ ∃xφ(x) ⇔ es gibt ein c ∈ C, so daß p ⊩ φ(c).

(Die restlichen Konnektoren ∧, →, ↔ und der Quantor ∀ sind mit Hilfe von ¬, ∨ und ∃ ausdrückbar.)

Eine Menge G von Bedingungen heißt generische Menge für T, falls jede endliche Teilmenge von G eine Bedingung für T ist, und für jede Aussage φ aus L(C) eine endliche Teilmenge p ⊆ G existiert, so daß entweder p ⊩ φ oder p ⊩ ¬φ. Damit läßt sich das grundlegende Resultat für generische Modelle formulieren:

Ist G eine generische Menge für T, dann gibt es (bis auf Isomorphie) genau einealgebraische Struktur A(G) für L(C) mit der Trägermenge A so, daß gilt:

1. Für jedes a ∈ A enthält C einen Namen c (elementare Sprache).
2. Für jede Aussage φ aus L(C) gilt

\begin{eqnarray}A(G)\models \phi \iff G\models \phi \end{eqnarray}

(d. h., 𝒜(G) ist ein Modell für genau die Aussagen, die durch G „erzwungen“ werden).