Lexikon der Mathematik: Modifikationen stochastischer Prozesse
Versionen stochastischer Prozesse, bestimmte Art des Zusammenhangs zweier stochastischer Prozesse.
Sind (Xt)t∈T und (Yt)t∈T zwei auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierte stochastische Prozesse mit dem gleichen Zustandsraum, so heißt jeder der beiden Prozesse eine Modifikation oder Version des anderen, falls für alle t ∈ T die Beziehung P(Xt = Yt) = 1 gilt. Die Eigenschaft eines Prozesses (Yt)t∈T, Modifikation eines Prozesses (Xt)t∈T zu sein, kann so interpretiert werden, daß (Yt)t∈T aus (Xt)t∈T entsteht, indem man für jedes t ∈ T die Zufallsvariable Xt auf einer von t abhängenden P-Nullmenge so abändert, daß sich Yt ergibt. Zwei Modifikationen (Xt)t∈T und (Yt)t∈T besitzen die gleichen endlichdimensionalen Verteilungen, d. h. sie sind äquivalent. Die Umkehrung gilt i. allg. aber nicht. Weiterhin gilt für zwei Modifikationen i. allg. auch nicht, daß sie nicht unterscheidbar sind.
Modifikationen werden häufig dazu verwendet, um von einem Prozeß (Xt)t∈T zu einem Prozeß (Yt)t∈T überzugehen, dessen Pfade bestimmte Eigenschaften besitzen. Besonders wichtig sind in diesem Zusammenhang sogenannte stetig modifizierbare Prozesse, d. h. solche, für die eine Modifikation existiert, deren Pfade alle stetig sind.
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