die wie folgt durch die gewöhnlichen Bessel-Funktionen definierten Funktionen \begin{eqnarray}{I}_{v}(z) & := & \left\{\begin{array}{c}{e}^{-i\pi \nu/2}{J}_{\nu}(z{e}^{i\pi /2})\,(\text{arg}\,{z}\,\in \,(\,-\pi,\,\frac{\pi }{2}])\\ {e}^{3i\pi \nu/2}{J}_{\nu}(z{e}^{-3\pi /2})\,(\text{arg}\,{z}\,\in \,(\,-\frac{\pi }{2},\,\pi ])\end{array}\right.\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{K}_{v}(z) & := & \left\{\begin{array}{c}\frac{\pi i}{2}{e}^{\pi i\nu/2}{H}_{\nu}^{(1)}(z{e}^{i\pi /2})\,(\text{arg}\,{z}\,\in \,(\,-\pi,\,\frac{\pi }{2}])\\ -\frac{\pi i}{2}{e}^{-\pi i\nu/2}{H}_{\nu}^{(2)}(z{e}^{-i\pi /2})\,(\text{arg}\,{z}\,\in \,(\,\frac{\pi }{2},\,\pi ])\end{array}\right.\end{eqnarray}

Alle diese Funktionen sind Lösungen der Differentialgleichung \begin{eqnarray}{z}^{2}\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}}\,+\,z\frac{dw}{dz}\,-\,({z}^{2}\,+\,{\nu}^{2})w\,=0\,,\end{eqnarray}

die mit der Besselschen Differentialgleichung verwandt ist. Insbesondere bilden I_ν und K_ν ein Paar linear unabhängiger Lösungen dieser Differential-gleichung für alle ν ∈ ℂ; I_ν und I_−ν sind für ν ∉ ℤ ebenfalls linear unabhängig. I_ν und K_ν sind für reelle ν > 1 und reelle z selbst reell.

Die Funktionen K_ν und I_ν sind auf der entlang der negativen reellen Achse aufgeschnittenen komplexen Zahlenebene wohldefinierte holomorphe Funktionen mit einem möglichen Verzweigungspunkt am Ursprung, und für festes z ≠ 0 ganze Funktionen in ν. Ist ν ∈ ℤ, so ist I_ν sogar eine ganze Funktion in z. Für Re v ≥ 0 bleibt I_ν für beschränktes arg z selbst beschränkt. K_ν geht im Sektor | arg z| < π/2 für |z| → ∞ gegen Null.

Um den Verzweiungspunkt herum müssen diese Funktionen wie folgt analytisch fortgesetzt werden: \begin{eqnarray}{I}_{\nu}(z{e}^{im\pi }) & = & {e}^{im\nu\pi }\,{I}_{\nu}(z)\,\,\,(m\,\in \,{\mathbb{Z}})\\ {K}_{\nu}(z{e}^{im\pi }) & = & {e}^{-im\nu\pi }\,{K}_{\nu}(z)\,-\\ & – & \pi i\frac{\text{sin}\,m\nu\pi }{\text{sin}\,\nu\pi }{I}_{\nu}(z)\,\,\,(m\,\in \,{\mathbb{Z}})\end{eqnarray}

Weitere Relationen zwischen den modifizierten Bessel-Funktionen und den gewöhnlichen Bessel-Funktionen sind \begin{eqnarray}{Y}_{v}(z{e}^{i\pi /2})\,=\,{e}^{i\pi (v+1)/2}{I}_{v}(z)\,-\,\frac{2}{\pi }\,{e}^{-i\pi v/2}{K}_{v}(z)\,,\end{eqnarray}

sowie zwischen den modifizierten Bessel-Funktionen \begin{eqnarray}{K}_{v}(z)\,=\,\frac{\pi }{2}\,\frac{{I}_{-v}(z)\,-\,{I}_{v}(z)}{\text{sin}\,\pi v}\end{eqnarray}

Hierbei ist dieser Ausdruck für ν ∈ ℤ wieder durch seinen Grenzwert zu ersetzen.

Die meisten Eigenschaften der modifizierten Bessel-Funktionen lassen sich leicht aus der Definition und den Eigenschaften der gewöhnlichen Bessel-Funktionen ableiten. Mitunter wird für ν ∈ ℤ die modifizierte Bessel-Funktion I_ν auch durch folgende Integraldarstellung definiert: \begin{eqnarray}{I}_{v}(z)\,=\,\frac{1}{\pi }\,\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{z\,\text{cos}\,\vartheta}\,\text{cos}(v \vartheta)\,d\vartheta,.\end{eqnarray}

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.