die wie folgt durch die modifizierten Bessel-Funktionen definierten Funktionen \begin{eqnarray}{i}_{n}(z) & :\,= & \sqrt{\frac{\pi }{2z}}{I}_{n+1/2}(z),\\ {i}_{-n}(z) & :\,= & \sqrt{\frac{\pi }{2z}}{I}_{-n-1/2}(z),\\ {k}_{n}(z) & :\,= & \sqrt{\frac{\pi }{2z}}{K}_{n+1/2}(z)\end{eqnarray}

(modifizierte sphärische Bessel-Funktion der ersten, zweiten und dritten Art, jeweils n ∈ ℤ).

Man kann diese Funktionen auch leicht in den sphärischen Bessel-Funktionen ausdrücken und erhält dann \begin{eqnarray}{i}_{n}(z) & = & \left\{\begin{array}{c}{e}^{-in\pi /2}{j}_{n}(z{e}^{i\pi /2})\,(\text{arg}\,z\,\in \,(-\pi,\,\frac{\pi }{2}])\\ {e}^{3ni\pi /2}{j}_{n}(z{e}^{-3\pi i/2})\,(\text{arg}\,z\,\in \,(\frac{\pi }{2},\,\pi ])\end{array}\right.\\ {i}_{-n}(z) & = & \left\{\begin{array}{c}{e}^{3(n+1)i\pi /2}{y}_{n}(z{e}^{i\pi /2})\,(\text{arg}\,z\,\in \,(-\pi,\,\frac{\pi }{2}])\\ {e}^{-(n+1)i\pi /2}{y}_{n}(z{e}^{-3\pi i/2})\,(\text{arg}\,z\,\in \,(\frac{\pi }{2},\,\pi ])\end{array}\right.\\ {k}_{n}(z) & := & \begin{array}{l}\,\frac{\pi }{2}{(-1)}^{n+1}\,\sqrt{\frac{\pi }{2z}}\,\\ ({I}_{n+1/2}(z)\,-\,{I}_{-n-1/2}(z))\end{array}\end{eqnarray}

Die Paare i_n, i_−n sowie i_n, k_n bilden für jedes n ∈ ℤ jeweils ein Paar linear unabhängiger Lösungen der Differentialgleichung \begin{eqnarray}{z}^{2}\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}}\,+\,2z\frac{dw}{dz}\,-\,({z}^{2}\,+\,n(n+1))w\,=0\,.\end{eqnarray}

Die meisten Eigenschaften von i_n und k_n leitet man aus den Eigenschaften der modifizierten Bessel-Funktionen ab.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.