wie folgt definierte Kenngröße einer Familie von Kurven:

Es sei B ⊂ ℂ eine Borel-Menge (z. B. eine offene Menge). Eine Kurvenfamilie Γ in B ist eine Menge von Kurven (Wegen) in B. Weiter heißt eine Borelmeßbare Funktion ϱ : B → [0, ∞) zulässig für Γ, falls \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\varrho(z)\,|dz|\,\ge \,1\end{eqnarray}

für alle γ ∈ Γ. Der Modul von Γ ist dann gegeben durch \begin{eqnarray}\text{mod}\,\Gamma \,=\,\mathop{\text{inf}}\limits_{\varrho}\displaystyle \mathop{\iint }\limits_{B}{(\varrho(z))}^{2}\,dxdy\,,\end{eqnarray}(2)

wobei das Infimum über alle für Γ zulässigen Funktionen ϱ genommen wird. Es kann vorkommen, daß mod Γ = 0 oder mod Γ = ∞. Die Größe (mod Γ)⁻¹ nennt man auch die extremale Länge von Γ.

Ist speziell B = G ein Gebiet und ϱ eine konforme Metrik in G, so bedeutet (1), daß L_ϱ(γ) ≥ 1, wobei L_ϱ(γ) die Länge von γ bezüglich ϱ bezeichnet. Dabei ist L_ϱ(γ) = ∞ erlaubt. Das Integral in (2) kann als Flächeninhalt von G bezüglich ϱ interpretiert werden.

Beispiel 1. Für a, b > 0 sei B das Rechteck \begin{eqnarray}B\,=\,\{z\,\in \,{\rm{{\mathbb{C}}}}\,:\,0\,\lt \,\text{Re}\,z\,\lt \,a,\,0\lt \text{Im}\,z\,\lt \,b\}\end{eqnarray}

und Γ die Familie aller Kurven in B, die die beiden horizontalen Seiten von B miteinander verbinden. Dann gilt mod \(\text{mod}\,\Gamma \,=\,\frac{a}{b}\). Siehe hierzu auch Modul eines Vierecks.

Beispiel 2. Es sei 0 < r< s< ∞ und B der Kreisring \begin{eqnarray}B\,=\,\{z\,\in \,{\rm{{\mathbb{C}}}}\,:\,r\,\lt \,|z|\,\lt \,s\}\,.\end{eqnarray}

Weiter sei Γ die Familie aller geschlossenen Kurven in B, die die innere Randkomponente von B umlaufen und Γ′ die Familie aller Kurven in B, die die beiden Randkomponenten von B miteinander verbinden. Dann gilt \begin{eqnarray}\text{mod}\,\Gamma \,=\,\frac{1}{2\pi }\,\text{log}\frac{s}{r}\,\,\,\text{und}\,\,\,\text{mod}\,{\Gamma }^\prime\,=\,\frac{1}{\text{mod}\,\Gamma }\,.\end{eqnarray}

Für r = 0 ist mod Γ = ∞ und mod Γ′ = 0. Siehe hierzu auch Modul eines Ringgebietes.

Eine wichtige Eigenschaft des Moduls ist die konforme Invarianz. Dazu sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, Γ eine Kurvenfamilie in G und f eine konforme Abbil-dung von G auf ein Gebiet H. Für γ ∈ Γ bezeichne f(γ ) die Bildkurve von γ. Ist f(Γ) die Familie aller Bildkurven f(γ ), so gilt mod f(Γ) = mod Γ.

Einige weitere Eigenschaften des Moduls:

1. Sind Γ, Γ′ Kurvenfamilien in einer Borel-Menge B ⊂ ℂ mit Γ ⊂ Γ′ oder derart, daß es zu jedem γ ∈ Γ ein γ ′ ∈ Γ′ gibt mit γ ′ ⊂ γ, so gilt mod Γ ≤ mod Γ′. Sind Γ₁, Γ₂, Γ₃,… Kurvenfamilien in B, so gilt \begin{eqnarray}\text{mod}\left(\displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{k}{\Gamma }_{k}\right)\,\le \,\displaystyle \sum _{k}\text{mod}\,{\Gamma }_{k}.\end{eqnarray}
2. Es seien B₁, B₂, B₃,…, paarweise disjunkte Borel-Mengen und B eine Borel-Menge mit ⋃_k B_k ⊂ B. Für jedes k sei Γ_k eine Kurvenfamilie in B_k. Ist Γ eine Kurvenfamilie in B mit ⋃_k Γ_k ⊂ Γ, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k}\text{mod}\,{\Gamma }_{k}\,\le \,\text{mod}\,\Gamma \,.\end{eqnarray} Ist Γ eine Kurvenfamilie in B derart, daß es zu jedem γ ∈ Γ ein γ_k ∈ Γ_k gibt mit γ_k ⊂ γ, so gilt \begin{eqnarray}\frac{1}{\text{mod}\,\Gamma }\,\ge \,\displaystyle \sum _{k}\frac{1}{\text{mod}\,{\Gamma }_{k}}.\end{eqnarray}
3. Es sei G ⊂ ℂ ein bezüglich ℝ symmetrisches Gebiet, d. h. z ∈ G genau dann, wenn \(\bar{z}\,\in \,G\). Weiter seien G⁺ :={ z ∈ G : Im z > 0 }, G⁻ := { z ∈ G : Im z< 0 }, A⁺ ⊂ { z ∈ ∂G : Im z > 0 } und \({A}^{-}\,\,:\,=\,\{z\,\in \,{\rm{{\mathbb{C}}}}:\,\bar{z}\,\in \,{A}^{+}\}\). Ist Γ die Familie aller Kurven in G, die A⁻ mit A⁺ verbinden, und sind Γ^± die Familien von Kurven in G^±, die ℝ mit A^± verbinden, so gilt \begin{eqnarray}\text{mod}\,{\Gamma }^{+}\,=\,\text{mod}\,{\Gamma }^{-}\,=\,2\,\text{mod}\,\Gamma \,.\end{eqnarray}

Der Modul einer Kurvenfamilie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der konformen Abbildungen.